УДК 539.4
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ РАЗРУШЕНИЯ В КОМПОЗИЦИИ С ЖЕСТКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ СИЛАМИ

Кундрат Н.М.

Ровенский государственный технический университет, г.Ровно, Украина

РЕЗЮМЕ

В развитие работы [] представлено решение задачи о механизмах разрушения в композиции с линейным включением в условиях плоской задачи. Включение наделяется ограниченной прочностью на разрыв Ppr=spr и рассматриваются два варианта разрушения: а) разрыв включения; б) отслоение включения. Установлена критическая длина включения, определяющая вместе с упругими и прочностными характеристиками механизм локального разрушения, найдены значения предельных нагрузок.

1. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОМПОЗИЦИИ С ВКЛЮЧЕНИЕМ

Тонкая неограниченная пластина с жестким линейным включением вдоль отрезка (-а, а) оси абсцисс растягивается паралельно линии включения двумя сосредоточенными силами величины Q, в точках x=h, y=0 (рис. 1) [1]. Включение хотя и жесткое, но имеет ограниченную прочность на разрыв Ppr=prs0, где s0 - площадь сечения включения. Влиянием пластических зон возле точек приложения сил пренебрегаем, что допустимо при достаточном удалении точек приложения сил от концов включения.

-h

h

Краевые условия соответствующей смешанной граничной задачи (рис. 1):
,                                          (1.1)
,                                         (1.2) 
,            (1.3)    
.                                                       (1.4)
Здесь (b-с) - длина полос пластичности; (a-b) - длина полос разрыхления; b*  соответствует значению b в предельно равновесном состоянии.
Решение сформулированной задачи [1]:
,       ,        (1.5)  
,
,  (1.6)
,
где   , 
h - расстояние до точек приложения сил Q; =(3-)/(1+) для плоского напряженного состояния и =3-4 для плоской деформации; , G - коэффициент Пуассона и модуль сдвига материала матрицы и контактного слоя матрица-включение.
Длина полос пластичности и разрыхления определяется уравнением
. (1.7)   
Разрыв наибольших тангенциальных перемещений:
.   (1.8)
Здесь необходимо отметить, что формула (1.8), совпадает с соответствующей при однородном напряженном состоянии на бесконечности []. Однако в нее входят неизвестные параметры b и c, которые определяются решением уравнения (1.7).
Значения контактных напряжений вдоль линии включение-матрица согласно формул (1.5), (1.6) определяются выражениями:
:  ,
          ;
:,             (1.9)
              ;
:,
             .
Предполагаем, что включение хотя и жесткое, но обладает конечной прочностью на разрыв Рпр. Касательные напряжения (1.9) на его поверхности создают в поперечном сечении включения разрывающие осевые усилия Р(x), которые распределяются по его длине за законом
  .                                                                  (1.10)
Усилиями, передаваемыми на включение через его торец пренебрегаем.
Максимальное значение осевых усилий достигается посредине включения (x=0) и определяется из решения системы уравнений
,
.       (1.11)
Принимаем, что в рассматриваемой композиции ниболее вероятными будут два механизма локального разрушения: а) отслоение включения (зарождение контактирующей трещины поперечного сдвига); б) разрыв включения на две (или больше) составляющих. Для каждого из механизмов рассмотрим два предельных случая материала матрицы.

2. МАТЕРИАЛ МАТРИЦЫ ИДЕАЛЬНО УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ

В этом случае длину зоны разрыхления a-b принимаем пренебрежительно малой по сравнению с зоной пластического течения. Рассмотрим возможность отслоения включения с использоанием деформационного критерия
 ,                                                                                    (2.1)
где - постоянная характеристика композиции.
Из системы уравнений
.
.(2.2)
определяем значение предельной нагрузки, соответствующее моменту отслоения включения, т.е. образования у концов включения контактирующих трещин поперечного сдвига. На рис. 2 показано ее решение, для линии 1 расстояние до точек приложения сил r=h/a =1,5, для линии 2 -  r =10.

1

2

Рис. 2.

В первом приближении после разложения правых частей системы уравнений (2.2) в ряд Тейлора по степенях  и удержания первых слагаемых приходим к простой формуле
,                                       (2.3)

результаты расчетов по которой представлены на рис. 2 соответственно пунктирными линиями.

 Рассмотрим теперь возможность разрыва включения. Касательные напряжения на поверхности включения создают в его поперечном сечении разрывающие осевые усилия. На рис. 3 приведено распределение касательных напряжений согласно формулы (1.9) по длине правой половины включения 0xa (левая половина симметрична правой). Для линии 1 нагрузка Q =0,5, для линии 2 - Q =0,8 , для обеих - r=h/a=2. 

2

1

x/a

Рис. 3.

За пределами окрестностей точек x=c величина касательных напряжений быстро уменьшается, что соответствует общепринятым положениям. В композиции с пластической матрицей касательные напряжения на поверхности раздела увеличиваются до значений, при которых в матрице или на поверхности раздела возникает пластическая деформация. После того, как на некотором участке включению будет передана большая часть нагрузки, они быстро уменьшаются.
Действуя  через боковую поверхность касательные напряжения создают в поперечном сечении включения разрывающие осевые усилия. Их качественное распределение по длине включения такое же, как и при однородном напряженном состоянии на бесконечности [2]. Максимальные осевые усилия достигаются на средине включения. 
На рис. 4 приведена зависимость осевых усилий P(0) от нагрузки как решение системы уравнений (1.11). Для линии 1 параметр r =1,5, для линии 2 - r =2, для линии 3 - r =10.

1

3

2

Рис. 4.

С увеличением внешней нагрузки и развитием полос пластичности осевые усилия также возрастают. Увеличение разрывающих осевых усилий во включении (с увеличением нагрузки) будет происходить до момента зарождения в окрестностях вершин включения в полосах пластичности трещины по механизму поперечного сдвига, т.е. до начала отслаивания включения от матрицы или, что то же, до достижения разрывами смещений u(a) предельного значения 2С. Поэтому, учитывая формулы (1.11), (2.1), можем рассчитать максимальные осевые усилия во включении до зарождения трещины, после возникновения трещины осевые усилия будут меньшими при прочих равных условиях. На рис. 5 приведены значения максимальных осевых усилий (линия 1), полученных из решения системы уравнений (1.11), (2.1), на которые необходимо ориентироваться при проэктировании такого класса композитов.
Если допустить, что допустимые разрывы смещений значительно меньше от размеров самого включения, то такую зависимость в первом приближении можно записать непосредственно через параметр  2С, представив формулы (1.11) в ряд по степенях с

1

2

Рис. 5.

.                                                         (2.3)
Линия 2 на рис. 5 иллюстрирует возможность применения формулы (2.3) для расчета максимальных осевых усилий.
С другой стороны, прочность включения на разрыв ограничена. Для того, чтобы включение осталось целым максимальные осевые усилия не должны превышать предельного значения Ppr, которое соответствует прочности включения на разрыв, т.е.
  .                                                                                      (2.4)
Принимая условие (2.4) за критериальное и решая систему уравнений (1.11), находим значение предельной нагрузки Q**  при котором произойдет разрыв включения. В первом приближении простую формулу получим выполнив разложение в ряд Тейлора и учитывая лишь первые члены
.                                                                 (2.5)
Таким образом, характер разрушения в композиции будет определяться: с одной стороны - прочностными параметрами матрицы или контактного слоя матрица-включение 2С,  (или ), с другой стороны - прочностью включения Рpr и при фиксированной длине включение или отслаивается от матрицы или разрывается в зависимости от того, какое из предельных равенств (2.1) или (2.4) достигается раньше.
Полученные соотношения позволяют найти критическую длину включения , которая вместе с упругими и прочностными параметрами композиции определяет механизм разрушения. При длине включения большей за критическую, которая определяется из решения системы уравнений
,(2.6)

 или в первом приближении за формулой
                                                              (2.7)
с увеличением внешней нагрузки произойдет разрыв включения. Соответствующую предельную нагрузку вычисляем из системы уравнений (1.11), (2.1) или за формулой (2.3). При длине включения меньше критической развитие разрушения будет происходить путем его отслоения. Предельную нагрузку при этом находим из решения системы уравнений (2.2) или в первом приближении за формулой (2.5).

3. МАТЕРИАЛ МАТРИЦЫ ХРУПКИЙ

Для хрупкого материала матрицы зона пластичности отсутствует. В таком случае принимая в решении (1.9) c=b приходим к функции напряжений
  ,           (3.1)
где  
 .
Длину полос разрыхления находим решением нелинейного уравнения
.                  (3.2)
Наибольшие значения перемещений в окрестности вершин включення (x=a)
.                                       (3.3)
Используя деформационный критерий отслоения включения  из системы уравнений (3.2), (3.3) определяем предельное значение нагрузки Q, которое обозначим через Q* и которое соответствует моменту зарождения в окрестности вершины включения контактирующей трещины по механизму поперечного сдвига, т.е. отслоения включения. На рис. 6 приведено численное решение этой системы уравнений и показано зависимость предельной нагрузки Q* от параметров композиции.
Выполнив разложение в ряд Тейлора по параметру  в формулах (3.2), (3.3) и сохранив первые члены получим приближенную формулу для оценки предельной нагрузки
.                                                  (3.4)

3

2

1

Рис. 6.

Сравнительные расчеты за формулой (3.4) приведены на рис. 6 пунктирными линиями. Заметим, что полученные формулы аналогичны по структуре формулам п.2.
Контактные напряжения вдоль линии матрица-включение определяются  выражениями (для правой половины включения):
:  ,
           ;

:,                                        (3.5)
             .
Касательные напряжения (3.5) вызывают в поперечном сечении включения разрывающие осевые усилия. Их характер распределения по длине включения аналогичный как и при упругопластической матрице.
Значения наибольших усилий на середине включения в зависимости от нагрузки и параметров композиции находим из решения системы уравнений
,
.                               (3.6)
Решение системы уравнений (3.6) приведено на рис. 7. Для линии 1 параметр r=h/a=1,5; для линии 2 - r=2; для линии 3 - r=10.

1

3

2

Рис.7.

Принимая за критерий начала отслоения включения условие  из системы уравнений
,                                       (3.7)

найдем максимальные разрывающие осевые усилия , которые могут возникнуть во включении и на которые необходимо ориентироваться при проэктировании такого типа композиций. Их значения приведены на рис. 8 линией 1.

2

1

Рис.8.

В первом приближении, выполнив в правых частях формул (3.7) разложение в ряд по степенях  и сохраняя первые слагаемые, получим, что
.                                                    (3.8)
Линия 2 на рис. 8 иллюстрирует возможность использования приближенной формулы (3.8).
З другой стороны, чтобы включение не разорвалось, максимальные осевые усилия не должны превишать его прочности на разрыв (). Заменив в системе уравнений (3.6)  на  и решая ее относительно Q найдем значения предельной нагрузки разрыва включения Q**.
Приближенную формулу получим выполнив разложение правых частей системы уравнений (3.6) в ряд Тейлора. При сохранении первых слагаемых нагрузка разрыва включения 
.                                                              (3.9)
Если кроме этого r>>1, то приближенную оценку предельной нагрузки можно выполнить за формулой
.
Критическую длину включения , которая определяет механизм локального разрушения, найдем из решения системы уравнений
  ,
             (3.10)
или в первом приближении за формулой
.
Полученные результаты позволяют, например, по заданной нагрузке подобрать размер включения таким образом, что бы не происходило его разрушения или отслоения от матрицы.

ЛИТЕРАТУРА