ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СЛОИСТО-ВОЛОКНИСТЫХ ПЛАСТИН ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ДЕЙСТВИИ НАГРУЗОК ВЗРЫВНОГО ТИПА

Немировский Ю.В., Янковский А.П.

Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, г. Новосибирск, Россия

РЕЗЮМЕ

Сформулирована задача вязкопластического динамического изгиба слоисто-волокнистых пластин переменной толщины. Разработан оригинальный метод интегрирования поставленной начально-краевой задачи. Проведено сравнение численных результатов с известным аналитическим решением, полученным в рамках жесткопластической модели для изотропной круглой пластины, показана их хорошая согласованность. Эффективность разработанного метода продемонстрирована на расчетах неупругой динамики однослойных и трехслойных армированных пластин постоянной и переменной толщины. Показано, что за счет рационального профилирования и армирования пластин максимальную величину их остаточных прогибов можно уменьшить в несколько раз.

ВВЕДЕНИЕ

Пластины и плиты составляют основу многих защитных ограждений и ответственных элементов судостроительной, машиностроительной и авиационной техники, объектов стройиндустрии. При воздействии динамических нагрузок высокой интенсивности их повреждаемость во многом определяет возможность дальнейшего функционирования указанных объектов, поэтому проблема динамического расчета таких элементов конструкций является одной из важнейших в механике деформируемого твердого тела. Большинство существующих на сегодняшний день решений основано на модели идеального жесткопластического тела [1,2 и др.]. Как правило, решения являются приближенными, получены на основе экстремальных принципов динамики жесткопластического тела [3] и относятся к однородным изотропным пластинам постоянной толщины, при этом зависимость предела текучести материала пластин от скорости деформирования не учитывается. 
В последние десятилетия в инженерной практике в качестве эффективных защитных элементов используются плиты, усиленные высокопрочной арматурой (волокнами). Разнесение же несущих армированных слоев, как известно [4], позволяет дополнительно повысить несущую способность пластин при изгибе. Исследование неупругого динамического деформирования таких конструкций находится пока в зачаточном состоянии [5]. Кроме того, также известно, что рациональное задание толщины пластины может существенно влиять на ее сопротивляемость (в том числе, и динамическую) внешним воздействиям, а зависимость пределов текучести материалов фаз композиции (например, сталей [6]) может быть значительной и должна оказывать существенное влияние на деформативность тонкостенных конструкций при динамическом нагружении. В частности, неучет последнего обстоятельства является одной из причин завышения на 30–80% [2] расчетных величин остаточных прогибов по сравнению с экспериментальными данными.
Целью настоящего исследования является разработка метода решения начально-краевой задачи динамического вязкопластического изгиба слоисто-волокнистых пластин постоянной и переменной толщины с учетом эффекта вязкопластического упрочнения материалов фаз композиции и анализ влияния структуры армирования и формы профиля пластин на величину их остаточных прогибов при действии нагрузок взрывного типа.

1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ СЛОИСТО-ВОЛОКНИСТЫХ ПЛАСТИН

Рассматривается поперечный динамический изгиб кирхгофовской пластины переменной толщины 2H, состоящей из нечетного числа армированных слоев, расположенных симметрично относительно среднего слоя: именно, к среднему слою с обеих сторон примыкают два слоя одинаковой толщины и с одинаковыми структурами армирования и фазовыми материалами; к внешним поверхностям этих слоев примыкают еще два одинаковых слоя и т.д. Предполагается, что по толщине каждый слой имеет регулярную и квазиоднородную структуру, скольжение слоев друг по другу невозможно, так как слои склеены или спаяны друг с другом по поверхностям соприкосновения и при деформации работают совместно.
Свяжем с пластиной ортогональную (возможно, криволинейную) систему координат  так, чтобы плоскость  совпадала со срединной плоскостью центрального слоя до начала деформирования. Средний слой будем называть «нулевым»; выше него () последовательно располагаются слои с номерами , ниже () – слои с номерами  (всего  слоев, причем M-й слой является верхним, а 2M-й слой – нижним; такая же нумерация слоев использована в [4]). Каждый m-й слой армирован  семействами волокон (возможно, различной физической природы), которые уложены в плоскостях, параллельных плоскости  (плоское армирование), или на поверхностях, расстояния между которыми по оси z изменяются пропорционально изменению толщины слоя (пространственное армирование).
Поперечная распределенная нагрузка  действует в направлении z, поэтому в случае малых прогибов w уравнение движения такой пластины имеет вид [7]
		(1.1)
где
	(1.2)
	(1.3)
 – моменты, возникающие в пластине;  – осредненные напряжения в композиции m-го слоя (использована модель армированного слоя из [8]); ,  – напряжения в связующем и арматуре k-го семейства в m-м слое;  – аппликата границы между m-м и ()-м слоями (); ρ – приведенная удельная масса пластины; ,  – объемные плотности материалов связующего и арматуры k-го семейства m-го слоя; ,  – интенсивность и угол (отсчитываемый от направления ) армирования m-го слоя волокнами k-го семейства; G – область, занимаемая пластиной в плане; в случае использования цилиндрической полярной системы координат ()  – полярный радиус,  – полярный угол; нижний индекс после запятой означает частное дифференцирование по пространственным переменным ,  или времени t соответственно.
Согласно вязкопластической модели [9] напряжения  при одноосном напряженном состоянии в фазах композиции m-го слоя зависят от скорости деформации  этих субструктурных элементов. Аппроксимируя зависимость  двухзвенной ломаной (могут быть использованы и другие соотношения, например для многозвенной ломаной), получим
		(1.4)
где ,  – коэффициенты линейной вязкости и линейно-вязкого упрочнения k-й фазы композиции m-го слоя;  – значение напряжения в точке перелома двухзвенной ломаной, аппроксимирующей зависимость  (можно трактовать как предел текучести материала k-й фазы композиции m-го слоя). При  получаем предельный переход к жестко-вязко-пластической модели, а при ,  – жесткопластической модели.
Пластина подчиняется гипотезам Кирхгофа, поэтому при малых прогибах связь между деформациями , их скоростями , прогибом w и его скоростью v определяется так [7,9]:
(1.5)
где
	(1.6)
выражения для параметров искривления срединной плоскости пластины  получаются из (1.6) заменой v на w.
Используя соотношения (1.3)–(1.5), модель армированного слоя из [8] и определяющие уравнения для материалов с нелинейной вязкостью [9], для моментов  получим представление
						(1.7)
где выражения для коэффициентов  и функций  нелинейно зависят от , , параметров армирования ,  и весьма громоздки. В силу известного формального сходства определяющих уравнений теории упругопластических деформаций и теории вязкопластического течения [10] выражения для ,  формально совпадают с аналогичными коэффициентами и функциями, полученными авторами в [4] для случая упругопластического изгиба слоисто-волокнистых пластин с линейным упрочнением фазовых материалов (при этом в [4] следует принять  (), умножить ,  на 2/3 и заменить  на  (ср. (1.7) с формулой (2.5) из [4])).
Подставим моменты (1.7) с учетом (1.6) в уравнение движения (1.1) и запишем его для удобства дальнейшего изложения в виде системы двух уравнений
		(1.8)
где
	(1.9)

Для однозначного интегрирования системы (1.8) необходимо использовать начальные
					         (1.10)
и общеизвестные граничные условия [7], которые не будем здесь приводить из-за их многообразия. (Если заданы кинематические граничные условия для прогиба w, то за счет второго равенства (1.8) можно получить соответствующие условия для скорости прогиба v. А при задании статических граничных условий следует использовать на кромках соотношения (1.6), (1.7).)

2.	МЕТОД РЕШЕНИЯ СФОРМУЛИРОВАННОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Если скорость v известна, то определение прогиба w из второго уравнения (1.8) при первом начальном условии (1.10) не вызывает затруднений. Первое же уравнение (1.8) является замкнутым относительно скорости v квазилинейным дифференциальным уравнением в частных производных параболического типа, содержащим производную от v первого порядка по времени t и производные вплоть до 4-го порядка по переменным , .
Для численного интегрирования по времени t  начально-краевой задачи, соответствующей первому уравнению (1.8), используем один из обобщенных методов Рунге–Кутта [11], а именно, двустадийный обобщенный метод Лобатто IIIA (метода трапеций), имеющий второй порядок точности по τ, где τ – шаг по времени t. Согласно этому методу,
		(2.1)
где
(2.2)
шаг по времени  может быть переменным ().
Перепишем уравнение (2.1) в виде
				(2.3)
	Если на n-м по времени слое скорость прогиба  известна, то уравнение (2.3) с учетом выражения (1.9) определяет решение на следующем ()-м по времени слое. Некоторым недостатком уравнения (2.3) является то, что для вычисления его правой части необходимо к известной функции  применять нелинейные дифференциальные операторы , . Чтобы избежать дифференцирования в правой части уравнения (2.3), введем в рассмотрение функции
		(2.4)
Тогда разрешающее уравнение (2.3) примет вид
			(2.5)
где правая часть известна и определяется по рекуррентной формуле
			(2.6)
вытекающей из сравнения (2.4) и правой части (2.3).
При нулевых начальных условиях (см. (1.10))
									(2.7)
из (2.4) с учетом (1.9) имеем
											(2.8)
а из (2.6)–(2.8) следует
								(2.9)
	Таким образом, для определения скорости прогиба на ()-м по времени слое необходимо проинтегрировать уравнение (2.5) с известной правой частью (2.6)–(2.9) при соответствующих граничных условиях, которые получаются из граничных условий для первого уравнения (1.8) формальной заменой v на .
	Уравнение (2.5) с учетом выражений (1.9) является квазилинейным эллиптическим уравнением 4-го порядка и его можно интерпретировать как уравнение равновесия установившейся ползучести поперечно изгибаемой пластины на линейно-вязком основании. В силу известного [10] формального сходства уравнений установившейся ползучести (в рамках теории течения) и уравнений теории упругопластических деформаций равенство (2.5) формально совпадает с уравнением статического упругопластического поперечного изгиба пластины на линейно-упругом основании, если под  понимать прогиб. Поэтому для интегрирования граничной задачи, соответствующей уравнению (2.5), можно использовать известные методы статики или установившейся ползучести.
	Для линеаризации уравнения (2.5) можно использовать итерационный метод, предложенный в [10] для решения задач установившейся ползучести и качественно аналогичный методу переменных параметров упругости, широко используемому при решении упругопластических задач статики [12]. Адаптация же метода переменных параметров упругости применительно к изгибаемым слоисто-волокнистым пластинам изложена авторами в [4], поэтому не будем останавливаться на этом вопросе более подробно. После такой линеаризации уравнение (2.5) можно рассматривать как линейное эллиптическое уравнение изгиба анизотропной неоднородной пластины на линейно-упругом основании и использовать для его интегрирования достаточно хорошо разработанные в теории изгибаемых пластин численные, вариационные и др. методы [13]. (Сходимость метода переменных параметров упругости доказана [12].)
В качестве начального приближения  для функции  можно выбрать решение на предыдущем по времени слое

или функцию

получающуюся по формуле Тейлора  с учетом выражения для  из (1.8) и оператора  из (2.4) в предположении, что на предыдущем n-м по времени слое решение задачи уже известно.
	В качестве модельной рассмотрим задачу об осесимметричной динамике круглых и кольцевых пластин с переменной по радиусу r толщиной слоев. Предполагается, что нагрузка p, закрепление пластины, толщина слоев и структуры армирования не зависят от полярного угла , поэтому прогиб и его скорость также не зависят от . Кроме того, считается, что слои армированы радиально-симметрично (, , , , ), поэтому, согласно [4], в (1.7), (1.9)
		
в силу чего из (1.7) следует . Уравнение (2.5) с учетом (1.9) в этом случае удобно переписать в виде системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно  и  ()
	         (2.10)
где
		 (2.11)
 – радиальный момент в пластине на l-м по времени слое;  – радиусы внутренней и внешней () кромок пластины;  определяется по формуле (2.6) при замене x на r.
Линеаризуем систему (2.10) указанным выше методом. Пусть ,  – известные k-е приближения разыскиваемых функций , тогда следующие приближения этих функций определим из системы линейных уравнений
(2.12)
где коэффициенты  () и функция  известны и получаются по формулам (2.11) с использованием функции  (см. [4]).
	К системе (2.12) нужно добавить граничные условия. В центре круглой пластины
					         (2.13)
если пластина шарнирно оперта, то на кромках
					         (2.14)
а при жестком защемлении
					         (2.15)
(Могут быть заданы и другие условия опирания, например, опора на вязко-упругом основании и т.п.)
Заменив в (2.12), (2.13), (2.15) производные конечными разностями на равномерной сетке по r с шагом h, получим для трехточечного шаблона конечно-разностные аналоги уравнений (2.12) и граничных условий (2.13), (2.15) со вторым порядком аппроксимации по h. Для решения соответствующей СЛАУ можно использовать матричную прогонку [14], которая устойчива.
Как показывают многочисленные расчеты, проведенные авторами, итерационный процесс (2.12)–(2.15) всегда сходится, поэтому предложенная схема численного интегрирования граничной задачи для системы (2.10) имеет точность порядка .
Если скорость прогиба известна на n-м и ()-м по времени слоях, то из второго уравнения (1.8) по формуле трапеций (с учетом первого начального условия (1.10)) можно определить прогиб на ()-м по времени слое со вторым порядком точности по τ:
				         (2.16)
В случае вязкопластического деформирования разрешающее уравнение динамики пластины (первое уравнение (1.8) с учетом (1.9)) является квазилинейным уравнением параболического типа относительно скорости прогиба v. Известно [15], что для квазилинейных дифференциальных уравнений общая теория устойчивости и сходимости конечно-разностных схем разработана недостаточно, поэтому основным критерием доверия той или иной конечно-разностной схеме служат приближенные решения для тестовых (модельных) задач, аналитические решения которых известны.
Авторам пока не удалось доказать устойчивость численной схемы (2.5), (2.16) в общем случае, когда операторы C, D (см. (1.9)) нелинейны. Но в пользу устойчивости этой схемы говорят физическая корректность (непротиворечивость) результатов многочисленных расчетов, проведенных авторами, и хорошее совпадение численных результатов с известными аналитическими решениями (см. далее обсуждение результатов расчетов). В случае линейной вязкости (см. (1.4) при ) доказать спектральную устойчивость схемы (2.3), (2.5) можно, повторив все рассуждения в [11], касающиеся доказательства устойчивости обобщенных методов Рунге–Кутта при решении задачи нестационарной теплопроводности, которая описывается параболическим уравнением, содержащим производную по времени t только первого порядка (подобно первому уравнению (1.8)).

3.	ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ НЕУПРУГОЙ ДИНАМИКИ КРУГЛЫХ И КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН

С целью тестирования разработанного в §2 метода сравним результаты численных расчетов с известным полным аналитическим решением [1], полученным по идеально жесткопластической схеме (, ) для шарнирно опертой изотропной пластины (, , ) постоянной толщины  при фронтальной динамической нагрузке взрывного типа
				(3.1)
Согласно [1], следует различать два уровня нагружения: 1) нагрузки малой и средней интенсивности, при которых
										(3.2)
2) нагрузки высокой интенсивности, при которых
											(3.3)
где
								(3.4)
 – предельный момент;  – предельная равномерно распределенная поперечная нагрузка,  – предел текучести материала пластины.
При уровнях нагрузки (3.2) в пластине не возникают поступательно движущиеся пластические зоны, время  остановки движения определяется так:
										(3.5)
а остаточный прогиб имеет вид
				(3.6)
т.е. срединная плоскость пластины деформируется в конус. При уровнях нагрузки (3.3) движение пластины сопровождается возникновением поступательно движущейся пластической круговой зоны, которая с течением времени уменьшается и стягивается к центру пластины. Время остановки и в этом случае определяется равенством (3.5), а остаточный прогиб имеет вид

где значение  определяется уравнением
								(3.8)
Сравнение аналитического решения (3.1)–(3.8) с численным решением, определенным по методу, разработанному в §2, проведем для круглой пластины радиуса , толщиной , изготовленной из высококачественной малоуглеродистой стали. Физико-механические характеристики материала пластины приведены в табл.1. (Коэффициент вязкого упрочнения  для малоуглеродистой стали получен по табличным данным из [6] с использованием метода наименьших квадратов. (Во всех приведенных ниже расчетах принималось  (см. (1.4)), что соответствует вязкопластической модели, приближенной к модели жестко-вязко-пластического тела.)

Таблица 1.
Физико-механические характеристики фазовых материалов [6,16].
Материал		, МПа		
Малоуглеродистая сталь
Сплав АМцН
Стальная проволока У8А	8000,0
2730,0
7800,0	248,0
180,0
2500,0	90,9
…
…	

В табл.2 приведены точные, рассчитанные по формулам (3.5)–(3.8), и приближенные, рассчитанные по схеме §2, значения времени остановки  и максимального безразмерного остаточного прогиба , который возникает в центре пластины. В расчетах характерный период времени , в течение которого изучалось движение пластины, разбивался на 1000 слоев (), а по радиусу пластины вводился 201 узел. Расчеты проводились для нагрузки средней интенсивности , что для рассматриваемой пластины из малоуглеродистой стали соответствует , а также при нагрузке большой интенсивности , что соответствует  (см. (3.4)). Время действия нагрузки (3.1) . В скобках в табл.2 указаны отклонения численного решения от аналитического.
Таблица 2.
Сравнение аналитических и численных решений задачи неупругой динамики круглой пластичны из малоуглеродистой стали.
Характеристика			
решения	Аналитическое
решение	Численное решение	Аналитическое
решение	Численное решение	

	0,2
0,744	0,193 (3,5%)
0,581 (22,0%)	0,4
3,72	0,388 (3,0%)
3,60 (3,14%)	

На рис.1 изображены эпюры безразмерных остаточных прогибов , , определенные численно и по формулам (3.6)–(3.8).

Рис.1.

Линия 1 получена по формуле (3.6), а кривая 1’ – численно при ; кривая 2 соответствует формулам (3.7), (3.8), а линия 2’ вычислена по схеме §2 при . (Максимумы этих кривых занесены в табл.2.) Как видно из табл.2 и рис.1 время остановки , определенное численно, хорошо (отклонение 3–4%) согласуется с аналитическим значением (3.5); остаточный же прогиб, вычисленный по схеме §2, при нагрузках малой и средней интенсивности может отличаться на десятки процентов от аналитического решения (3.6) (ср. кривые 1, 1’), но при нагрузках высокой интенсивности расхождение между численным и аналитическим (3.7), (3.8) решениями быстро уменьшается с увеличением амплитуды нагрузки и уже при  расхождение максимальных значений остаточных прогибов чуть больше 3 % (см. правую часть табл.2 и кривые 2, 2’ на рис.1). При дальнейшем увеличении интенсивности нагрузки  точность численного решения существенно не изменяется. Так, при  значения  и , определенные численно и аналитически, отличаются на 2% и 3% соответственно.
Подчеркнем, что численное решение, полученное по схеме §2, не может быть неограниченно приближено к аналитическому (3.5)–(3.8). Это вызвано тремя причинами. Во-первых, аналитическое решение (3.5)–(3.8) получено на основе идеальной жесткопластической модели, а численное решение на базе вязкопластической модели (1.4), в рамках которой сказывается влияние линейной вязкости , необходимой для обеспечения однозначности зависимости . Во-вторых, аналитическое решение получено с использованием критерия текучести Треска [1], а численное решение – критерия текучести Мизеса [9]. В-третьих, как видно из (3.5)–(3.7), величина остаточных прогибов и время остановки существенно зависят от значения избыточного давления (от ), вызывающего движение пластины. Если интенсивность нагрузки  фиксирована, то величина избыточного давления определяется значением предельной нагрузки , которая при использовании критерия текучести Треска имеет значение (3.4). В случае использования критерия текучести Мизеса  [17] (это на 5,5% больше значения (3.4)), что приводит к уменьшению избыточного давления. Все указанные причины вызывают уменьшение времени остановки и величины остаточных прогибов, определенных по схеме §2, по сравнению с аналитическим решением (3.5)–(3.8) особенно при нагрузках малой и средней интенсивности. Последнее обстоятельство является положительным, так как известно [2], что вычисленные аналитически остаточные прогибы (3.6)–(3.8) превышают экспериментальные значения на 30–80%, поэтому численное решение лучше согласуется с экспериментом, чем аналитическое.
Результаты, приведенные в табл.2, получены по идеальным жесткопластической и вязкопластической схемам (, см. (1.4)). Если же учесть зависимость предела текучести малоуглеродистой стали от скорости деформаций (, см. табл.1), то получим другие значения времени остановки и остаточных прогибов. Так, кривая 2” на рис.1 характеризует остаточные прогибы пластины с учетом вязкого упрочнения ее материала при . Сравнение кривых 2’, 2” показывает, что учет зависимости предела текучести от скорости деформации приводит к существенному снижению максимальных величин остаточных прогибов (почти в 14 раз). Последнее обстоятельство лучше согласуется с экспериментальными данными [2].
Кроме того, на величину остаточных прогибов оказывает значительное влияние и способ закрепления пластины. Кривая 3 на рис.1 характеризует эпюру остаточных прогибов жестко защемленной пластины при интенсивности нагрузки  без учета вязкого упрочнения (). Сравнение кривых 2’ и 3 показывает, что замена шарнирного опирания пластины на жесткое защемление приводит к уменьшению максимального остаточного прогиба почти в 3 раза. Если учесть вязкое упрочнение стали, то максимум остаточного прогиба защемленной пластины будет почти в 30 раз меньше максимума кривой 3.
Исследуем теперь влияние структуры армирования на вязкопластическую динамику волокнистых и слоисто-волокнистых пластин. С этой целью рассмотрим кольцевые пластины с кромками радиусов ,  и толщиной . На кромках пластины могут быть шарнирно оперты или защемлены. Внешняя распределенная нагрузка является фронтальной нагрузкой взрывного типа и затухает по экспоненциальному закону
				(3.9)
где  – значение нагрузки в начальный момент времени , в который конструкции находятся в покое. Пластины изготовлены из алюминиевого сплава АМцН и радиально-симметрично армированы по логарифмическим спиралям (, ) двумя семействами () стальной проволоки У8А. Физико-механические характеристики фазовых материалов приведены в табл.1.
Армирование пластин и слоев осуществляется непрерывными волокнами постоянного поперечного сечения, поэтому функции ,  при пространственном армировании слоев связаны равенством [18]
	         (3.10)
а при плоском армировании в (3.10) следует формально принять ,  [18].
На рис.2 изображены кривые, характеризующие зависимость максимума безразмерного остаточного прогиба  от угла армирования  при начальном значении нагрузки . Линии 1–4 рассчитаны для пластин шарнирно опертых на обеих кромках, а кривые 1’–4’ – для пластин, шарнирно опертых на внутренней кромке и жестко защемленных на внешней кромке. Кривые 1, 1’, 3, 3’ соответствуют однослойным пластинам (, ), армированным на внутренней кромке с интенсивностями ; линии же 2, 2’, 4, 4’ получены для трехслойных () пластин, изготовленных из тех же материалов, внутренний слой которых не армирован () и имеет полутолщину , а внешние несущие слои армированы с интенсивностями (3.10), причем на внутренней кромке . (При этом удельная суммарная плотность армирования во внешних слоях на внутренней кромке  () близка к предельно допустимой. При таких структурах армирования общий расход арматуры в трехслойных пластинах такой же, как и в однослойных.) Линии 1, 1’, 2, 2’ рассчитаны без учета (), а кривые 3, 3’, 4, 4’ с учетом (, ) вязкого упрочнения арматуры. (Для сплава АМцН вязкое упрочнение не учитывается, так как предел текучести алюминиевых сплавов практически не чувствителен к скорости деформации [19]. В силу отсутствия экспериментальных данных для проволоки У8А вязкое упрочнение бралось таким же, как и для малоуглеродистой стали [6].)

Рис.2.

Из рис.2 видно, что наименьшие остаточные прогибы обеспечиваются при армировании рассматриваемых пластин в радиальном направлении (). При увеличении углов спиральной намотки величина остаточных прогибов существенно возрастает (при некоторых углах армирования – в разы). Почти при всех углах армирования (исключение составляют лишь углы, близкие к  (окружное армирование)) остаточные прогибы трехслойных пластин меньше, чем прогибы однослойных конструкций. Следовательно, разнесение несущих слоев при определенных структурах армирования позволяет повысить динамическую сопротивляемость пластин при сохранении общего расхода всех фазовых материалов и массы пластины. Кроме того, остаточные прогибы пластин, рассчитанные с учетом вязкого упрочнения арматуры в разы меньше остаточных прогибов, определенных без учета вязкого упрочнения; замена шарнирного опирания пластин на жесткое защемление хотя бы на одной из кромок приводит к существенному (в некоторых случаях в разы) уменьшению величины остаточных прогибов.
На рис.3 изображены эпюры остаточных прогибов  для однослойной кольцевой пластины при разных структурах армирования, рассчитанные без учета вязкого упрочнения армирующих волокон. Кривые 1–3 получены для пластин постоянной толщины, но при разных углах армирования: линия 1 – при  (радиальное армирование), кривая 2 – при  (спиральное ортогональное армирование), линия 3 – при  (окружное армирование). Ординаты максимумов этих кривых совпадают с ординатами точек кривой 1 на рис.2 при , ,  соответственно. Сравнение кривых 1–3 на рис.3 позволяет проследить за качественным и количественным изменением эпюр остаточных прогибов в зависимости от угла армирования.

Рис.3.

Выше исследовалась динамика пластин постоянной толщины . Варьируя же форму пластины или слоев можно управлять остаточными прогибами. Рассмотрим совокупность шарнирно опертых кольцевых пластин, полутолщина которых определяется формулой
       (3.11)
При задании полутолщины пластины в виде (3.11) ее объем равен объему пластины постоянной полутолщины . Из (3.11) следует, что при  толщина пластины на кромках  меньше, чем во внутренних точках (максимум толщины достигается в точке ); при  получаем пластину постоянной полутолщины .
На рис.4 изображены кривые, характеризующие зависимости максимальных остаточных прогибов  от значения параметра профиля s в (3.11) при прежнем начальном значении нагрузки (3.9), прежнем значении  и радиальном армировании (). Линии 1–4 рассчитаны при плоском армировании, а кривые 1’–4’ получены при пространственном армировании. Линии 1, 1’, 3, 3’ соответствуют однослойным пластинам; кривые 2, 2’, 4, 4’ – трехслойным пластинам, внутренний слой которых по-прежнему не армирован () и имеет полутолщину , а внешние слои армированы в радиальном направлении. Кривые 1, 1’, 2, 2’ определены без учета, а линии 3, 3’, 4, 4’ – с учетом вязкого упрочнения армирующих волокон.

Рис.4.

В случае плоского армирования (кривые 1–4 на рис.4) при всех s в (3.11) плотности армирования на внутренней кромке  задавались равенствами , где  – плотность армирования на внутренней кромке пластины постоянной полутолщины , т.е.  для однослойных пластин (кривые 1, 3) и  () для трехслойных пластин (линии 2, 4). В случае пространственного армирования (кривые 1’–4’) значения  определялись равенством
			         (3.12)
Из (3.12) следует, что  при , , но удельная суммарная интенсивность армирования  не может быть больше предельно допустимого значения , которое на практике обычно равно 0,7, а теоретически при гексагональной плотной упаковке волокон круглого поперечного сечения  [20], поэтому на рис. 4 кривые 1’–4’ изображены лишь для значений , где, согласно (3.12),   и по-прежнему  для однослойных пластин (кривые 1’, 3’) и  () для трехслойных пластин (линии 2’, 4’).
Такое задание плотностей армирования на внутренней кромке пластины обеспечивает постоянный расход арматуры в конструкции

который с учетом (3.10) равен расходу арматуры в пластинах постоянной полутолщины , поэтому ординаты правых точек кривых 1–4 на рис.4 совпадают с ординатами левых точек кривых 1–4 на рис.2.
Из рис.4 видно, что все кривые имеют минимумы при , причем абсциссы точек локальных минимумов кривых 1, 2, рассчитанных без учета вязкого упрочнения арматуры, и линий 3, 4, определенных с учетом этого упрочнения, существенно отличаются. Следовательно, за счет рационального профилирования армированных пластин остаточные прогибы можно существенно (иногда в разы) уменьшить, при этом оптимальные профили с плоским армированием, полученные с учетом и без учета вязкого упрочнения фазовых материалов, будут значительно отличаться.
Из сравнения кривых 1–4 и 1’–4’ следует, что в рассматриваемом случае профилирование пластин с плоским армированием слоев позволяет получить более эффективные (с точки зрения динамического сопротивления) конструкции, чем при пространственном армировании.
На рис.3 кривые 1, 4, 5 характеризуют эпюры остаточных прогибов  для однослойной кольцевой пластины, армированной в радиальном направлении, рассчитанные при разных значениях s в (3.11) без учета вязкого упрочнения арматуры: линия 1 соответствует значению  (пластина постоянной толщины), кривая 4 – значению  (рациональный профиль), а линия 5 – значению . Ординаты максимумов этих кривых совпадают с ординатами точек кривой 1 на рис. 4 при , ,  соответственно. Сравнение кривых 1, 4, 5 на рис.3 позволяет проследить за качественным и количественным изменением эпюр остаточных прогибов в зависимости от параметра s профилирования пластины. В частности, кривые 4, 5 указывают на то, что при малых значениях s внутренняя область кольцевой пластины движется почти как жесткое целое (соответствующие центральные участки этих кривых практически прямолинейны).

4. ВЫВОДЫ

 	Разработанный в настоящем исследовании метод позволяет эффективно решать задачи вязкопластической динамики слоисто-волокнистых пластин постоянной и переменной толщины при нагрузках взрывного типа. Задание рационального распределения толщины пластины, ее слоев и их структур армирования позволяет снизить максимальную величину ее остаточных прогибов в несколько раз, а значит, существенно уменьшить ее повреждаемость при фиксированном расходе фазовых материала.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Гопкинс (Hopkins H.), Прагер (Prager W.) Динамика пластической круглой пластинки. Механика, Сб. переводов и обзоров иностранной периодической литературы, М., Иностранная литература, 1955, Вып.3 (31), с.112–122.
2.	Комаров К.Л., Немировский Ю.В. Динамика жестко-пластических элементов конструкций. Новосибирск, Наука, 1984, 236 с.
3.	Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М., Наука, 1978, 352 с.
4.	Немировский Ю.В., Янковский А.П. Упругопластический поперечный изгиб слоистых армированных пластин. Механика композиционных материалов и конструкций, 2005, т. 11, №1, с.2–20.
5.	Кошур В.Д., Немировский Ю.В. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций. Новосибирск, Наука, 1990, 200 с.
6.	Ворнок Ф., Поуп Дж. Изменение механических свойств мягкой стали при повторных ударах. Механика, Сб. сокращенных переводов и рефератов иностранной периодической литературы, М., Иностранная литература, 1950, Вып.II, с.69–83.
7.	Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. М., Изд-во МГУ, 1963, 414 с.
8.	Немировский Ю.В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя. Прикладная механика и техническая физика (ПМТФ), 1969, №6, с.81–89.
9.	Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М., Наука, 1969, 400 с.
10.	 Качанов Л.М. Теория ползучести. М., Физматгиз, 1960, 456 с.
11.	 Немировский Ю.В., Янковский А.П. Обобщение методов Рунге–Кутта и их применение к интегрированию начально-краевых задач математической физики. Сибирский журнал вычислительной математики, 2005. т.8, №1, с.51–76.
12.	 Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М., Машиностроение, 1968, 400 с.
13.	 Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М., Физматгиз, 1960, 492 с.
14.	 Калиткин Н.Н. Численные методы. М., Наука, 1978, 512 с.
15.	 Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука, 1989, 616 с.
16.	 Композиционные материалы. Справочник, Киев, Наук. думка, 1985, 592 с.
17.	 Гопкинс (Hopkins H.), Прагер (Prager W.) Несущая способность круглых пластинок. Механика, Сб. переводов и обзоров иностранной периодической литературы, М., Иностранная литература, 1955, Вып.3 (31), с.100–111.
18.	 Немировский Ю.В., Янковский А.П. О некоторых особенностях уравнений оболочек, армированных волокнами постоянного поперечного сечения. Механика композиционных материалов и конструкций, 1997, т.3, №2, с.20–40.
19.	 Мейден (C.J. Maiden), Грин (S.J. Green). Испытание на скоростное деформирование при сжатии для шести материалов при скоростях деформации от  до  мм/мм/сек. Прикладная механика, Тр. амер. общества, Ser. E, 1966, №3, с.20–30.
20.	 Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев, Наук. думка, 1985, 304 с.

Поступила в редакцию 16 июня 2006 года.