УДК 51-74:004.925.8:621.771.068

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ К НАХОЖДЕНИЮ ОПТИМАЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ РАСКЛАДЫВАЮЩЕГО МЕХАНИЗМА НАМОТОЧНОГО СТАНКА

Битюков Ю.И., Калинин В.А.

ФГБОУ ВПО Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет) г. Москва, Россия

РЕЗЮМЕ

Данная статья посвящена развитию математической модели одного из важнейших методов получения изделий из композиционных материалов – намотки непрерывными волокнами в направлении действия силы. В статье рассматривается задача нахождения оптимальной траектории и закона движения раскладывающего механизма станка с числовым программным управлением при изготовлении конструкций сложной формы из волокнистых композиционных материалов методом намотки. Задача решается с учетом реальной структуры ленты, ограничений на допустимые положения раскладчика, натяжения нитей ленты и скорости протяжки ленты.

Ключевые слова: намотка; композиционный материал; математическое моделирование; ориентированный граф; алгоритм Уоршолла; алгоритм Дейкстры

APPLICATION OF GRAPH THEORY TO FIND THE OPTIMAL TRAJECTORY OF THE SPREADING MECHANISM OF WINDING MACHINE

Bitjukov Y.I., Kalinin V.A.

Moscow Aviation Institute, Moscow, Russia

SUMMARY

This article is devoted to the development of a mathematical model of the important method producing goods from composite materials – winding of continuous fibers in the force direction. The paper considers a problem to find the optimal trajectory and a law of motion of the spreading mechanism of a numerical control winding machine for making complex-shaped constructions of fibrous composite. The problem is solved taking into account a real structure of tape of fibrous composite, restrictions on an allowable position of the spreading mechanism, a thread tension and a broaching speed of tape.

Key words: winding; composite material; mathematical simulation; a directed graph; Warshall algorithm; Dijkstra algorithm

1. ВВЕДЕНИЕ

Последние десятилетия являются свидетелями все возрастающего применения композиционных материалов в авиастроении и ракетно-космической отрасли. Это объясняется простотой достижения аэродинамических свойств и заданного теоретического контура внешнего обвода летательных аппаратов при изготовлении конструкций из композиционных материалов, небольшим весом, а также возможностью получать монолитные конструкции без швов и скреплений. Одним из недостатков композиционных материалов является до сих пор их высокая стоимость, поэтому при моделировании процесса изготовления конструкций из композитов методом намотки лентой, составленной из однонаправленных армирующих волокон, пропитанных связующим, которая укладывается с натяжением на поверхность технологической оправки, необходимо иметь высокую точность соответствующих моделей не только для достижения требуемых параметров конструкций, но и для экономии материалов за счет виртуальной компьютерной отладки процесса.
Основным технологическим фактором, регулирующим прилегание ленты к поверхности оправки, является заданное натяжение на раскладчике ленты намоточного станка. Натяжение может быть как постоянным, так и переменным, в зависимости от сложности поверхности технологической оправки, схемы армирования, возможностей намоточного оборудования. Обычно стараются задать некоторое среднее значение натяжения ленты, которое вызывает деформацию армирующего материала, не превышающую максимально допустимую. Такое натяжение не обеспечивает в полной мере прилегание ленты к поверхности технологической оправки. При разработке управляющей программы важно знать необходимое натяжение ленты на каждом этапе укладки ленты для формирования правильного закона движения раскладчика ленты. Кроме того, важное значение имеет учет скорости протяжки ленты через лентоформирующий тракт намоточного станка. Известно, что скорость протяжки ленты оказывает сильное возмущающее воздействие на интенсивность пропитки ленты, а, значит, и на качество изделия.
Работы многих авторов посвящены нахождению оптимальной траектории и закона движения раскладывающего механизма намоточного станка [1-4], но в этих работах законы строятся без учета реальной структуры ленты и рассматриваются только для класса поверхностей вращения. Кроме того, в этих статьях не учитывается такой важный технологический фактор, как натяжение нитей ленты. В данной статье оптимальная траектория и закон движения во времени раскладывающего механизма намоточного станка при намотке поверхности строятся с учетом реальной структуры ленты, допустимых положений раскладывающего механизма, сохранения требуемого натяжения нитей ленты и ограничений на скорость протяжки ленты через лентоформирующий тракт. Эти траектория и закон движения определяются в некотором ориентированном, взвешенном графе путем, который имеет наименьшую сумму весов ребер, представляющих собой время перехода между двумя последовательными вершинами.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть в пространстве фиксирована декартова система координат Oxyz. Поверхность технологической оправки , принадлежащая классу C2 поверхностей зависимых сечений с криволинейной образующей [5], задана параметрическим представлением . Схема укладки ленты задается с помощью гладкой кривой , имеющей параметрическое задание , и называемой кривой армирования.
Требуется переместить нитераскладчик из начального положения в конечное за минимальное время, не нарушая ограничений на натяжения нитей ленты, допустимые положения нитераскладчика и скорость протяжки ленты через лентоформирующий тракт.

3. ОГРАНИЧЕНИЯ НА ТРАЕКТОРИЮ ДВИЖЕНИЯ РАСКЛАДЫВАЮЩЕГО МЕХАНИЗМА

Положение раскладывающего механизма намоточного станка можно задать, указав радиус-векторы ,  крайних точек A и B механизма (рис.1). Точки A и B, очевидно, должны принадлежать торсовым поверхностям A и B, направляющие которых представляют собой кривые на поверхности, по которым укладываются крайние нити ленты (рис.1).

Рис.1. Укладка нитей ленты на технологическую оправку.

В статье [6] была построена геометрическая модель укладки ленты для любого метода намотки. Как известно, по исходному состоянию укладываемой ленты различают «сухую» и «мокрую» намотки. Для «сухой» намотки используется заранее изготовленная (сформированная из определенного числа нитей, определенной ширины и толщины, подсушенная и смотанная в барабаны) лента. При «мокрой» намотке лента формируется из нитей, пропитываемых связующим в процессе намотки. В статье [6] любой из видов намотки моделируется единым образом: с помощью явно заданного гладкого отображения прямоугольника в трехмерное Евклидово пространство , где  – максимальная ширина ленты при «мокрой» намотке и неизменная ширина ленты при «сухой » намотке. Как и в статье [6], будем предполагать, что выполнены следующие допущения:
1.	Лента состоит из n идеальных растяжимых однородных нитей.
2.	Укладка крайних нитей ленты осуществляется по кривым с параметрическим представлением  и . Укладка произвольной нити, лежащей между крайними, осуществляется по одной из кривых , где  и фиксировано. Параметру s=0 соответствует заданная кривая армирования .
Используя вектор-функцию , легко написать параметрические представления торсовых поверхностей [5], которым должны принадлежать крайние точки нитераскладчика. Пусть

Тогда параметрические представления поверхностей A и B имеют вид:

Следовательно, задать положения точек A и B можно указав значения параметров . Обозначим  – значение параметра , определяющее образующую торсовой поверхности A, которой принадлежит точка A,  – расстояние от точки A до точки касания нити и поверхности. Аналогично обозначим  – значения параметров, определяющие точку B. Выбор таких параметров, конечно, не произволен и должен удовлетворять определенным ограничениям.
Во-первых, расстояние  между точками A и B не может изменяться, поэтому точка B должна принадлежать линии пересечения торсовой поверхности B и сферы  с центром в точке A и радиусом  (рис.1). Таким образом, должно выполняться равенство . Найдем возможные значения  по заданному значению  и значениям . Для этого рассмотрим образующие торсовых поверхностей, соответствующие выбранным значениям  и точку на образующей поверхности , соответствующую значению . Опустим перпендикуляр из этой точки на вторую образующую. Пусть основанию перпендикуляра соответствует значение . Это значение определяется из условия
.
Отсюда получаем
.
Следовательно, если выполняется неравенство , то возможные значения  определяются равенством:
.
Итак, для того чтобы пары  удовлетворяли условию  необходимо и достаточно, чтобы соблюдались условия
, ,
где 
.
Во-вторых, нитераскладчик должен находиться в области  его допустимых положений. Эта область определяется возможностями намоточного станка, и в рассматриваемой модели будет задаваться двумя поверхностями 1 и 2 (рис.1) с параметрическими представлениями . Следовательно, должно выполняться условие , где .
Рассмотрим теперь ограничения на скорость протяжки ленты. Обозначим через , длины протянутых крайних нитей ленты, а через соответствующие производные. Пусть  обозначает время. Тогда  являются функциями от времени . Обозначим через , первые производные этих функций по времени. Тогда скорость протяжки нити может быть найдены по формуле . Таким образом, должны выполняться неравенства , где  заданная константа.
Натяжения нитей ленты должны обеспечивать плотное прилегание их к поверхности технологической оправки. Для нахождения ограничений, накладываемых на натяжения нитей при намотке ленты, рассмотрим задачу их определения.
Рассмотрим произвольную нить, укладываемую по кривой . В каждой ее точке имеется натяжение. При равновесии нити на оправке, натяжение будет функцией параметра . Таким образом, натяжение нити, укладываемой по кривой , описывается функцией  ( фиксировано). Мы будем рассматривать упругие деформации нитей. Тогда натяжение связано с относительным удлинением нити законом Гука и, как видно из [6], его можно найти по следующей формуле
,
где  – произвольное фиксированное значение, а E – модуль упругости материала нити. Итак, натяжение  произвольной нити ленты выражается через натяжение  одной из ее нитей.
Пусть лента состоит из n нитей, укладываемых по кривым , . Так же, как и крайние точки A, B нитераскладчика, точка схода Ai i-ой нити (A1=A, An=B) принадлежит торсовой поверхности . Пусть  – значение параметра , определяющее образующую торсовой поверхности , которой принадлежит точка Ai. Очевидно, что при выбранных , значения ,  не могут быть выбраны произвольно. Так как нити должны быть в натянутом состоянии, то значения  должны быть выбраны из условия пересечения торсовой поверхности  и отрезка AB. Таким образом, значение  находится из уравнения
,
где , а .
Пусть  – разрывная нагрузка материала нитей ленты. Тогда условие плотного прилегания нитей ленты к поверхности выражается следующими неравенствами:

Итак, условие плотного прилегания нитей ленты к поверхности, выраженное предыдущими неравенствами, есть дополнительное ограничение на траекторию движения нитераскладчика и значения натяжения . Для упрощения дальнейших уравнений будем считать, что
.

4. ПОСТРОЕНИЕ ОРИЕНТИРОВАННОГО ВЗВЕШЕННОГО ГРАФА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ НИТЕРАСКЛАДЧИКА

Введем следующие обозначения
.
В качестве значения  примем значение . Тогда, если  – время перехода нитераскладчика из состояния, в котором он находился в момент времени , в состояние, в котором он оказывается в момент времени , то справедливы приближенные равенства

Следовательно, должны выполняться равенства

В целях увеличения быстродействия алгоритма поиска траектории движения раскладчика ленты мы рассмотрим упрощенный, но вполне приемлемый вариант описанных выше ограничений. Выберем на отрезке  равномерную сетку с шагом . Пусть . Тогда 
Время перехода  из j-го состояния в (j+1)-е может быть найдено следующим образом . Эффективность всего процесса в целом будем характеризовать функцией вида: , которая представляет собой полное время движения нитераскладчика из начального состояния в конечное. Оптимальность закона движения нитераскладчика будем понимать в смысле увеличения производительности процесса за счет сокращения времени изготовления конструкции.
Зададим область D допустимых положений нитераскладчика с помощью двух эквидистантных поверхностей исходной поверхности оправки, т.е. будем считать, что нитераскладчик находится в допустимом положении, если

где  – заданные положительные числа. Пусть  и  корни уравнений
;
,
соответственно. Тогда допустимые значения . Выберем на отрезке  равномерную сетку  с M+1 узлами. Аналогично вводятся значения , и тогда допустимые значения .
Отметим, что значения параметров  и  принадлежат отрезку , но значение  следует искать поблизости от , на некотором интервале, меньшем, чем весь отрезок . Поставим в соответствие каждому значению  функцию , определенную равенством
.
Пусть значения  и  определяют концы отрезка самого близкого к , удовлетворяющего условию . Тогда значения  принадлежат этому отрезку. Выберем на отрезке  равномерную сетку  с M+1 узлами.
Далее, будем учитывать только натяжение крайних нитей ленты. Таким образом, должны выполняться условия:
.	(1)
Значение  будем считать допустимым, если указанные интервалы изменения  имеют непустое пересечение.
Обозначим . Тогда, если , то 
.
Как было сказано выше, значение  для допустимых  определяется равенством . При этом, как отмечалось, допустимым мы будем считать то значение, для которого . Поскольку имеет место приближенное равенство , то . С учетом ограничений на скорость протяжки ленты, должны выполняться неравенства:

Поскольку , то должны выполняться условия
;
.
В этом случае положим . Такой выбор обеспечит максимальную скорость перемещения нитераскладчика между двумя последовательными состояниями. Время перемещения будет равно
.
Перейдем теперь к построению ориентированного, взвешенного графа G. В качестве его вершин будут выступать допустимые тройки (т.е. интервалы (1) имеют непустое пересечение) , где
.
Под ребром графа G будем понимать упорядоченную пару , для которой . Поставим в соответствие такому ребру вес, равный .
Таким образом, поиск оптимальной траектории нитераскладчика сводится к поиску пути длины  в графе G, для которого сумма весов (времен перехода от одного положения нитераскладчика к следующему), составляющих его ребер, была бы наименьшей. Поиск такого пути (если он существует) может быть осуществлен с помощью, например, алгоритма Дейкстры [7].
Пусть A матрица смежности построенного графа G. Ее элемент, стоящий в
i-ой строке и j-ом столбце равен единице, если существует ребро , и нулю – в противном случае. Следовательно, матрица смежности представляет собой булеву матрицу. Если  и  булевы матрицы размера , то элементы матрицы  определяются, как . Если матрицы  и  имеют размеры  и , то элементы матрицы  размера  определяются, как . Как обычно, обозначим . Имеет место теорема [7].
Теорема. Пусть G – ориентированный граф с вершинами  и матрицей смежности A. Пусть . Из вершины  в вершину  имеется путь тогда и только тогда, когда .
Следовательно, на основании данной теоремы можно сделать вывод о разрешимости задачи поиска оптимальной траектории нитераскладчика при выбранных сетках на соответствующих отрезках. Если в матрице  существует элемент , где , а , то задача разрешима. Для построения матрицы  удобно воспользоваться алгоритмом Уоршола [7].
После нахождения кратчайшего пути

в графе G мы одновременно получаем промежуточные положения нитераскладчика и время перехода  между двумя последовательными положениями. По определению допустимых положений интервалы (1) имеют непустое пересечение, поэтому мы всегда можем выбрать значение  в каждом из состояний так, чтобы обеспечивалось прилегание нитей ленты к оправке.
Рассмотрим пример намотки поверхности прямоугольного профиля и для сравнения кругового цилиндра по геодезической линии. На рис.2 показан граф, соответствующий четверти витка ленты при намотке поверхности прямоугольного профиля. 

Рис.2.	Граф, соответствующий половине витка ленты при намотке поверхности прямоугольного профиля.

На рис.3 показаны один виток ленты на поверхности прямоугольного профиля (рис.3а) и цилиндра (рис.3б) и поверхности, заметаемые при своем движении нитераскладчиком. 

а)							б)
Рис.3.	Намотка поверхности прямоугольного профиля а) и кругового цилиндра
б) 1 - поверхность оправки; 2 - поверхность, заметаемая нитераскладчиком при своем движении; 3 - крайние нити ленты, 4 - лента на поверхности.

На рис.4 показаны графики зависимости натяжения крайних нитей ленты от параметра t кривой армирования. В рассмотренных примерах предполагалось, что
.

Рис.4.	Графики зависимости натяжения крайних нитей ленты от параметра t кривой армирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в данной статье рассмотрено сведение задачи поиска оптимальной траектории и закона движения во времени нитераскладывающего механизма намоточного станка при изготовлении конструкций из композиционных материалов методом намотки к задаче поиска кратчайшего пути в некотором ориентированном взвешенном графе. Такой закон строится с учетом структуры ленты и различных ограничений на допустимые положения нитераскладчика, в том числе, обеспечивается сохранение требуемого натяжения нитей ленты. Поскольку существуют стандартные алгоритмы поиска кратчайшего пути в графе, полученный в статье метод легко реализуется в CAD/CAM/CAE системах.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Битюков Ю.И., Калинин В.А. Численный анализ схемы укладки ленты переменной ширины на технологическую оправку в процессе намотки конструкций из композиционных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2010. – Т.16. – №2. – С.276-290.
2.	Князев Д.Н. Математические модели и алгоритмы программирования процессов формообразования изделий методом намотки / Дис. канд. техн. наук: 05.13.18. – Новочеркасск, 2002. – 170 с.
3.	Маринин В.И., Городецкий Г.Б. Задача расчета оптимальных по быстродействию траекторий и законов движения исполнительных органов намоточных станков с программным управлением / В Сб. статей «Системы управления технологическими процессами». – Новочеркасск: НПИ, 1976. – Вып.3.
4.	Алексейчик В.В., Ершов В.К., Иванченко А.Н., Чикильдин Я.Я. Задача оптимизации законов движения исполнительных органов многокоординатных станков с программным управлением / В кн. «Системы управления технологическими процессами». – Новочеркасск, 1976. – С.51-54.
5.	Алексейчик В.В., Душенко Ф.Г., Ершов В.К., Моргун А.Н., Чикильдин Я.Я. Разработка программно-математического обеспечения многокоординатных намоточных станков / В Сб. статей «Системы управления технологическими процессами». – Новочеркасск: НПИ, 1976. – Вып.3.
6.	Иванов Г.С. Начертательная геометрия / Учебник для вузов. – М.: Машиностроение, 1995. – 224с.
7.	Андерсон Дж.А. Дискретная математика и комбинаторика. – М.: «Дом Вильямс», 2004. – 960 с.

Поступила в редакцию 16 июня 2012 года.