УДК: 539.3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ГРАНИЦ ЭФФЕКТИВНЫХ ЖЕСТКОСТЕЙ ПЕРЕКРЕСТНО-АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Янковский А.П.

ФГБУН Институт теоретической и прикладной механики 
им.С.А.Христиановича СО РАН, г. Новосибирск, Россия

РЕЗЮМЕ

Предложены две структурные модели термоупругого поведения пространственно-армированной среды при общей анизотропии материалов компонентов композиции.
В качестве критериев эквивалентности волокнистой композиции фиктивному однородному анизотропному материалу использованы равенства в них удельной свободной энергии и удельной термодинамической энергии Гиббса, что позволяет определить верхнюю и нижнюю границы эффективных жесткостей армированного материала. Проведено сравнение с экспериментами. Показано, что нижние оценки эффективных жесткостей лучше согласуются с экспериментальными данными,
чем расчетные значения этих же величин, определенные на базе других структурных моделей.

Ключевые слова: композиты; пространственное армирование; структурная теория; анизотропия общая; энергетическая эквивалентность; эффективные характеристики

THE DEFINITION OF THE UPPER AND LOWER LIMITS
OF THE EFFECTIVE RIGIDITY OF A CROSS-REINFORCED COMPOSITE MEDIA

Yankovskii A.P.

Khristianovich Institute of theoretical and applied mechanics the Siberian Branch
of the Russian Academy of Science, Novosibirsk, Russia

SUMMARY

Two structural models of the thermo-elastic behavior of space-reinforced media are offered at the general anisotropy of the component materials of the composition. As criteria
of equivalence of fibrous composition to a fictitious homogeneous anisotropic material the equality specific free energy and the Gibbs thermodynamic energy in them are used. It allows determining the upper and lower boundaries of the effective stiffness of reinforced materials. Comparison with experiments was performed. It was shown that lower bounds for effective rigidities better agreed with the experimental data than the calculated values of the same values that are defined on the basis of other structural models.

Key words: composites; spatial reinforcement; structural theory; general anisotropy; energy equivalence; effective characteristics
ВВЕДЕНИЕ

В последние десятилетия в инженерной практике все более активно используются композиционные материалы с пространственной структурой армирования [1-5 и др.]. Целесообразность пространственного расположения арматуры определяется не только возможностью ликвидировать такой недостаток слоистых композитов как опасность расслоения вследствие слабого сопротивления сдвигу и поперечному отрыву, но и возможностью локализовать
в пределах нескольких пространственных ячеек распространение трещин. Этим резко повышается несущая способность материала в толстостенных конструкциях, особенно в зонах приложения локализованных нагрузок
и концентраторов напряжений при нестационарных термосиловых воздействиях, характерных для современных технических устройств [1,4,5], в том числе
и широкохордных лопаток авиадвигателей.
В силу актуальности проблемы определения эффективных упругих характеристик пространственно-армированных композитных сред развитию структурных теорий расчета таких материалов был посвящен ряд публикаций [1,6-10 и др.]. Критический анализ предложенных ранее структурных моделей проведен в [10].
В теории гетерогенных сред, помимо всего прочего, важной является проблема определения верхней и нижней границ их эффективных характеристик – «вилки Винера» [11]. В механике композитов «вилка Винера» известна
как «вилка Фойгта-Рейса», являющаяся достаточно широкой, поэтому неоднократно предпринимались попытки сузить ее границы (например, «вилка Хашина-Штрикмана» [12]). Подобные «вилки» для перекрестно-армированных композитов до настоящего времени не были получены.
Данное исследование посвящено определению верхней и нижней границ эффективных жесткостей перекрестно (в общем случае, пространственно) армированной композитной среды и сравнению расчетных значений этих жесткостей с результатами, полученными из экспериментов.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЫ ЭФФЕКТИВНЫХ ЖЕСТКОСТЕЙ ПЕРЕКРЕСТНО-АРМИРОВАННОГО КОМПОЗИТА

Так как наличие арматуры с различными жесткостью и прочностью значительно расширяет диапазон свойств композиционных материалов
с пространственной схемой армирования [1,4], в глобальной декартовой системе координат  рассмотрим гибридный композит, армированный
в произвольных направлениях K семействами волокон (возможно, разной физической природы) с интенсивностями  (). Относительное объемное содержание связующего обозначим через , тогда имеет место условие нормировки
			(1)
Здесь и далее суммирование осуществляется по указанному индексу от 1 до K, если не указаны пределы.
С каждым k-м семейством волокон свяжем свою локальную ортогональную систему координат  () так, чтобы ось  совпадала
с направлением траекторий армирования этого семейства, а оси  были перпендикулярны этим траекториям (рисунок). Направляющие косинусы между осями  k-й локальной системы координат и осями  глобальной системы обозначим , ,  (см. таблицу в [10]).

Рисунок. Локальная система координат, связанная с волокном k-го семейства

Все компоненты композиции предполагаются анизотропными материалами, причем для удобства изложения (хотя это и не принципиально) термоупругие характеристики связующего заданы в глобальной системе координат ,
а арматуры k-го семейства – в локальной системе . Эффективные характеристики композиции определяются в глобальной системе координат.
Согласно вышеизложенному, определяющие уравнения для фиктивного материала, эквивалентного композитной среде, и для компонентов композиции
в матричной форме имеют вид [13]
				(2)
где
		(3)

, ,  () – симметричные -матрицы жесткостей фиктивного материала, связующего и арматуры k-го семейства соответственно; , ,  – шестикомпонентные векторы-столбцы напряжений в тех же материалах; , , , , ,  – шестикомпонентные векторы-столбцы деформаций и коэффициентов теплового расширения тех же материалов (здесь, как и в [13], но в отличие от [10], для удобства изложения под 
и т.п. понимаются полные сдвиговые деформации, равные соответствующим удвоенным компонентам тензоров деформаций  и т.п.); T, ,  – отклонение температуры фиктивного материала, связующего и арматуры k-го семейства от температуры естественного состояния θ;  – удельные свободные энергии Гельмгольца (инварианты) в тех же материалах, имеющие выражения [14] 
				(4)
, ,  – теплоемкости (при постоянной деформации) фиктивного материала, связующего и арматуры k-го семейства; звездочка означает операцию транспонирования.
В соотношениях (2)–(4) и далее чертой сверху обозначены величины, определенные в локальной системе координат , связанной с k-м семейством волокон, а те же величины, определенные в глобальной системе , обозначены теми же символами, но без черты. Равенства (3) задают соответствия между шестью компонентами  () некоторых векторов  и компонентами соответствующих симметричных тензоров второго ранга ,  ().
Направление армирования волокнами k-го семейства можно однозначно задать с помощью двух углов сферической системы координат (см. рисунок): полярного расстояния  и долготы . Направляющие косинусы  при этом вычисляются как функции от ,  по формулам (4) из [10].
Так как установить фактическое распределение напряжений и деформаций
в композитной среде, где основной материал имеет многочисленные более жесткие и произвольно ориентированные включения, весьма затруднительно [13] (до настоящего времени такие задачи были решены аналитически или численно только для дисперсно- или однонаправленно-армированных композитных сред [15–17 и др.]), то при нахождении практически пригодных зависимостей для определения всех независимых термоупругих постоянных пространственно-армированного материала необходимо сделать некоторые допущения в виде исходных предпосылок, аналогичных принятым в [10,13].
1.	Армированный материал представляет собой сплошное макроскопически квазиоднородное анизотропное тело. (При достаточно густом равномерном насыщении связующего арматурными стержнями или волокнами это предположение вполне допустимо [13].)
2.	Между связующим и арматурой существует полное сцепление (идеальный термомеханический контакт).
3.	В пределах представительного элемента, выделенного из композита
на миниуровне, деформации, напряжения и температуры во всех компонентах и в композиции кусочно-постоянны. Эффектами высших порядков, связанными с изменением полей деформаций, напряжений и температур
на микроуровне в малых окрестностях границ контакта связующего и волокон, пренебрегаем.
4.	Все фазовые материалы линейно-упруги и однородны; связь между напряжениями, деформациями и температурой в них определяется соотношениями Дюамеля – Неймана, записанными в матричной форме (2).
5.	Осредненные поля деформаций и температуры в композиции определяются
по правилу простой смеси – пропорционально относительному объемному содержанию каждого составляющего (, , ).
6.	В качестве условия эквивалентности выступает равенство свободной энергии фиктивного однородного анизотропного материала свободной энергии рассматриваемого композита.
З а м е ч а н и е  1. В [10] допущение 6 вообще не использовалось, а гипотеза 5 была дополнена следующим предположением: осредненное поле напряжений
в композиции также определяется по правилу простой смеси. Именно использование допущений 5, 6 позволяет оценить верхние границы эффективных жесткостей рассматриваемой композитной среды [12,18].
Так как в отношении температурных полей гипотезы 1-5 полностью совпадают с допущениями, принятыми в [10], то, повторяя рассуждения из [10] (см. там (8), (12), (16)), с учетом (1) получим
								(5)
т.е. средняя температура композиции в пределах представительного элемента равна температуре каждого компонента.
При переходе от глобальной системы координат  к локальной системе  имеют место преобразования векторов (3)
						(6)
и обратные им преобразования
						(7)
где ,  – матрицы, обратные невырожденным -матрицам ,  с компонентами

(8)
Здесь  – направляющие косинусы; остальные (не выписанные в (8)) элементы ,  матриц ,  определяются табл. (21.40), (21.44) в [13], где всем величинам нужно приписать верхний индекс k в скобках, как это сделано в (8), при этом в соотношениях (7) ,   (см.стр.82,83 в [13]).
В силу второго и третьего допущений и условий сопряжения полей напряжений и перемещений на границах контакта волокон со связующим
с учетом соотношений, аналогичных (6), получим
				(9)
						(10)
где ,  – напряжения и деформации в связующем, определенные
в локальной системе координат .
Согласно пятому допущению осредненное поле деформаций в композиции определяется так
									(11)
(Соотношение (11) записано в глобальной системе координат .)
Из равенств (9), (10) с учетом (2), (5) и четвертого допущения вытекает
			(12)
Эту систему запишем в следующей матричной форме
							(13)
где ненулевые элементы -матриц , 
и шестикомпонентного вектора-столбца , согласно (12), определяются так
	(14)
В частном случае изотропных фазовых материалов в (2) и (14) нужно учесть, что ненулевые компоненты матриц  и векторов  имеют вид [13]
		(15)
где , ,  – модуль упругости, коэффициент Пуассона и коэффициент линейного теплового расширения материала k-го компонента композиции.
В силу (14) , поэтому из (13) получаем
							(16)
где
										(17)
 – -матрица, обратная .
Соотношение (16) определяет деформации k-го семейства арматуры 
(в локальной системе координат ) через температуру T и деформации связующего , заданные в глобальной системе .
Преобразуем равенство (11) с учетом (7), (16), тогда получим
			(18)
где I – единичная -матрица. Из соотношения (18) следует
										(19)
где H – -матрица, f – шестикомпонентный вектор-столбец, определяемые так
				(20)
Соотношение (19) определяет деформации в связующем  через осредненные деформации композиции  и температуру T.
Согласно первому и шестому допущениям, имеем

Из этого соотношения с учетом (4), (5) получаем
													(21)
Выразим в (21) за счет (16) деформации  через , а затем, используя (19), исключим из правой части этого равенства вектор , тогда после элементарных преобразований с учетом симметрии матриц ,  будем иметь
(22)
Так как равенство в (22) должно выполняться при любых , T, то из него вытекают следующие соотношения

		(24)
где нужно учесть выражения для матриц и векторов (20), (17), (14), (8).
Из равенства (24) следует
		(25)
где  – -матрица, обратная A (см. (2), (23)), – матрица эффективных коэффициентов податливости композиции .
Первое равенство (23) определяет в матричной форме эффективные механические жесткости рассматриваемой композиции; соотношение (24) – эффективные температурные жесткости; равенство (25) – эффективные коэффициенты линейного теплового расширения; второе соотношение (23) – эффективную теплоемкость композиции.
З а м е ч а н и е  2. Полученные в настоящем исследовании соотношения (23)-(25) могут быть использованы для определения эффективных характеристик композитов, армированных волокнами с покрытиями (типа борных [19]), а также при учете переходных зон [16], возникающих в силу химического взаимодействия волокон со связующим на границах их контактов (зоны интерметаллидов
в металлокомпозитах и т. п.) или частичного разрушения компонентов композиции на этих границах [2]. Для этого указанные покрытия или зоны нужно рассматривать как дополнительные фиктивные семейства арматуры, относительное объемное содержание и физико-механические характеристики которых известны.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ ЭФФЕКТИВНЫХ ЖЕСТКОСТЕЙ ПЕРЕКРЕСТНО-АРМИРОВАННОГО КОМПОЗИТА

Для получения нижней границы эффективных жесткостей перекрестно-армированной композитной среды вновь используем допущения 1-4, а вместо гипотез 5, 6 используем следующие предположения:
5’.	Осредненные поля напряжений и температуры в композиции определяются
по правилу простой смеси – пропорционально относительному объемному содержанию каждого составляющего.
6’.	В качестве условия эквивалентности выступает равенство термодинамической энергии Гиббса (потенциала Гиббса) фиктивного однородного анизотропного материала термодинамической энергии Гиббса рассматриваемого композита.
З а м е ч а н и е  3. Именно использование допущений 5’, 6’ позволяет оценить нижние границы эффективных жесткостей рассматриваемой композитной среды [12,18].
В силу допущений 1, 4 соотношения Дюамеля-Неймана (2) можно записать в виде [13,14]
				(26)
где
				(27)
, ,  – симметричные -матрицы податливости (обратные матрицам жесткости ) фиктивного материала, связующего и арматуры k-го семейства соответственно;  – термодинамические потенциалы Гиббса (инварианты) тех же материалов; , ,  – теплоемкости (при постоянном напряжении) тех же материалов; остальные векторы и величины имеют тот же смысл, что и в (2), (3).
Согласно допущениям 1-4,5’ справедливыми остаются соотношения (5)-(10), а на основании гипотезы 5’ осредненное поле напряжений в композиции определяются так
									(28)
(Соотношение (28) записано в глобальной системе координат .)
Из равенств (9), (10) с учетом (26), (5) следует
			(29)
Эту систему запишем в следующей матричной форме
							(30)
где ненулевые элементы -матриц , 
и шестикомпонентного вектора-столбца , согласно (29), определяются так
			(31)
В частном случае изотропных фазовых материалов в (26), (31) нужно учесть, что ненулевые элементы матриц ,  и векторов  имеют вид [13]
	(32)
где , ,  имеют тот же смысл, что и в (15).
В силу (31) , поэтому из (30) получаем
							(33)
где
										(34)
 – -матрица, обратная .
Соотношение (33) определяет в матричной форме напряжения в k-м семействе арматуры  (в локальной системе координат ) через температуру T и напряжения в связующем , заданные в глобальной системе .
Преобразуем равенство (28) с учетом (7), (33), тогда получим
		(35)
где I – единичная -матрица. Из соотношения (35) следует
										(36)
где H – -матрица, L – шестикомпонентный вектор-столбец вида
				(37)
Соотношение (36) определяет в матричной форме напряжения в связующем  через осредненные напряжения в композиции  и температуру T.
Согласно допущению 6’, имеем

Из этого соотношения с учетом (5), (27) получаем
	(38)
Выразим в (38) за счет (33) напряжения  через , а затем, используя (36), исключим из правой части этого равенства вектор , тогда после элементарных преобразований с учетом симметрии матриц ,  будем иметь

Так как равенство в (39) должно выполняться при любых , T, то из него вытекают следующие матричные соотношения
	(40)
где нужно учесть выражения для матриц и векторов (34), (37), (31), (8).
Первое равенство (40) определяет в матричной форме эффективные коэффициенты податливости рассматриваемой композиции; второе соотношение – эффективные коэффициенты линейного теплового расширения; третье равенство – эффективную теплоемкость композиции.
В силу того, что матрицы  и ,  являются симметричными,
из соотношений (23), (40) следует, что и матрицы A, , определенные
по предложенным выше моделям также являются симметричными. Этот факт косвенно подтверждает непротиворечивость использованных в настоящем исследовании допущений.
Замечание 2 остается справедливым и в отношении равенств (40).

3. СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ УПРУГИХ КОНСТАНТ АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ

Рассмотрим бороалюминиевые и стеклопластиковые волокнистые композиции (термоупругие постоянные материалов компонентов композиций приведены в табл.1) и проведем сравнения с экспериментальными данными расчетных значений технических констант этих композиций, которые определяются по формулам [13]
					(41)
где , ,  – модули упругости первого и второго рода и коэффициенты Пуассона армированного материала соответственно;  – элементы матрицы  эффективных коэффициентов податливости композиции, вычисленной по формуле (40) или путем обращения матрицы эффективных жесткостей A, определенной по формуле (23) или из соотношений (33) в [10].
Таблица 1.
Значения термоупругих характеристик компонентов композиции [19,20].
Материал				
Алюминиевый сплав АД
Волокна бора (B)
Стекловолокно
Эпоксисвязующее ЭДТ-10	71
385–448
73,1
3,3	0,31–0,33
0,2–0,25
0,25
0,35	23,5
2,4
—
—	

3.1. Однонаправленно-армированные композиты.

В табл.2 приведены расчетные значения эффективных термоупругих характеристик однонаправленно-армированного в направлении  бороалюминия (, , , ; см. (1) и рисунок), полученные по формулам (23), (25), (40), (41), а также на основе структурных соотношений из [10] (см. (33), (34)). В расчетах использовались средние значения упругих констант материалов компонентов композиции из табл.1.
Из табл.2 следует, что все три рассматриваемые структурные модели дают одни и те же результаты, т.е. оценки снизу и сверху полностью совпадают. (Отметим, что в случае однонаправленно-армированного композита модель, предложенная в [10], редуцируется в модель В.В. Болотина [21]. Следовательно,
в рамках модели В.В. Болотина «вилка Винера» равна нулю.)
При ориентации волокон в плоскости  под углом  к оси  (; см. рисунок) эффективный модуль упругости в направлении этой оси (обозначим его ) определяется по формуле [13]
				(42)
Сопоставим расчетные значения эффективных характеристик рассматриваемой бороалюминиевой композиции с экспериментальными данными. В табл.3 приведены расчетные значения , полученные по формулам (42) при использовании данных из табл.2, и экспериментальные значения из [22]. Данные табл.3 позволяют сделать вывод о том, что расчетные значения  хорошо согласуются с экспериментом.
Таблица 2.
Расчетные значения эффективных термоупругих характеристик
однонаправленно-армированного бороалюминия при .
Характеристика 	Структурная модель	
материала	Соотношения 
(40), (41) 
(нижняя граница)	Структурные 
соотношения 
из работы [10]	Соотношения 
(23), (25), (41) 
(верхняя граница)	
	174,65	174,65	174,65	
	99,8	99,8	99,8	
	35,98	35,98	35,98	
	35,98	35,98	35,98	
	0,2915	0,2915	0,2915	
	0,1666	0,1666	0,1666	
	0,3869	0,3869	0,3869	
	8,4044	8,4044	8,4044	
	20,1461	20,1461	20,1461	
	0,0	0,0	0,0	

Таблица 3.
Значения  однонаправленно-армированного бороалюминия при .
Угол разориентации	, ГПа	Отклонение от	
, град	Эксперимент [22] 	Расчет	эксперимента, %	
0
5
10
30
45
65
90	185
180
180
120
100
100
100	174,65
171,7
163,67
118,59
99,5
94,96
99,8	5,6
4,6
9,07
1,18
0,5
5,04
0,2	

Сопоставим расчетные значения эффективных характеристик рассматриваемой бороалюминиевой композиции с экспериментальными данными. В табл. 3 приведены расчетные значения , полученные по формулам (42) при использовании данных из табл.2, и экспериментальные значения из [22]. Данные табл.3 позволяют сделать вывод о том, что расчетные значения  хорошо согласуются с экспериментом.
В работе [23] проведено сравнение с экспериментом структурных формул, полученных ранее в рамках других моделей: Д.С. Аболиньша, Г.А. Ванина, Хилла, Хашина-Розена, Савина-Хорошуна. Как показано в [23], все эти модели имеют примерно ту же точность, что и расчетные данные, приведенные в табл.3.

3.2. Перекрестно-армированные в плоскости композиты.

В табл.4 приведены значения , полученные из экспериментов [22], для ортогонально армированного в плоскости  бороалюминия (, , , ; см. (1) и рисунок) при разных значениях . В табл.5-7 для тех же значений  приведены соответствующие расчетные значения , , , определенные по формулам (23), (40), (41) и (33) из [10]. В расчетах использовались средние значения упругих характеристик материалов компонентов композиции из табл.1. Здесь ,  – эффективные жесткости – компоненты матрицы A (см. (23) и (33) из [10]) или матрицы, обратной  (см. (40)).
Таблица 4.
Экспериментальные значения жесткости  (ГПа) ортогонально армированного бороалюминия (АД–В) [22].
Плотности 
армирования	Угол армирования волокнами первого семейства , град	
	 	0	45	90	
0,2
0,25
0,3
0,35	0,2
0,15
0,1
0,05	144-173
131-147
196-244
181-228 	62-67
69-71
93
43-52 	140-162
77-91
67-83
58-71	

Согласно расчетным значениям эффективных жесткостей , , приведенным в табл.5, 6, структурные соотношения раздела 1 действительно определяют верхние границы эффективных жесткостей волокнистых композиций, формулы раздела 2 – нижние границы (см. замечания 1, 3), а структурная модель из [10] – некоторые промежуточные значения. Как показали расчеты, эти оценки справедливы и для всех других компонентов  матрицы A (см. (23), (40) и (33) из [10]), не приведенных в табл.5,6.
Таблица 5.
Расчетные значения эффективной жесткости  (ГПа) ортогонально армированного бороалюминия* (АД–В).
Плотности 
армирования	Угол армирования волокнами первого семейства , град	
		0	45	90	
0,2
0,25
0,3
0,35	0,2
0,15
0,1
0,05	190,84/204,83/220,12
203,62/215,80/228,89
216,67/225,80/235,40
229,91/234,93/240,10	167,74/174,12/181,43
167,87/173,79/180,53
168,32/172,77/177,81
169,28/171,04/173,07	190,84/204,83/220,12
178,43/192,73/208,50
166,65/179,34/193,30
156,00/164,45/173,51	
* Первое значение – расчет по формуле (40) с учетом обращения матрицы  (нижняя граница); второе значение – расчет по формуле (33) из [10]; третье значение – расчет по формулам (23) (верхняя граница).	
Таблица 6.
Расчетные значения эффективной жесткости  (ГПа) ортогонально армированного бороалюминия* (АД–В).
Плотности 
армирования	Угол армирования волокнами первого семейства , град	
	 	0	45	90	
0,2
0,25
0,3
0,35	0,2
0,15
0,1
0,05	59,49 / 62,33 / 65,51 
59,52 / 62,21 / 65,22
59,65 / 61,88 / 64,33
59,92 / 61,30 / 62,78 	82,58 / 93,03 / 104,2
82,72 / 92,69 / 103,3 
83,17 / 91,68 / 100,6
84,13 / 89,95 / 95,84 	59,49 / 62,33 / 65,51 
59,52 / 62,21 / 65,22
59,65 / 61,88 / 64,33
59,92 / 61,30 / 62,78	
* Первое, второе и третье значения имеют тот же смысл, что и в табл.5.	

Однако для расчетных значений эффективных технических констант композиции (например, ) эти оценки при разориентации направлений нагружения и армирования могут и не выполняться. Действительно, согласно данным, приведенным в табл.7 при , проявляется эффект «обратной вилки». Объясняется это тем, что структурные формулы, полученные в разделах 1, 2, определяют верхние и нижние оценки именно для эффективных жесткостей  – компонентов матрицы A [18], а не для технических постоянных композиции (41).
Таблица 7.
Расчетные значения жесткости  (ГПа) ортогонально армированного бороалюминия* (АД–В).
Плотности 
армирования	Угол армирования волокнами первого семейства , град	
	 	0	45	90	
0,2
0,25
0,3
0,35	0,2
0,15
0,1
0,05	156,95/170,99/186,27 
169,89/182,07/195,12
182,97/192,08/201,65
196,09/201,11/206,27 	118,54/117,57/116,16 
118,41/117,30/115,78 
118,06/116,44/114,51
117,71/114,87/111,89 	156,95/170,99/186,27 
144,30/158,71/174,53 
132,21/145,04/159,11 
121,21/129,78/138,96 	
* Первое значение – расчет по формулам (40), (41); второе значение – расчет
по формулам (41) и (33) из [10]; третье значение – расчет по формулам (23), (41) с учетом обращения матрицы A.	

Так как ортогонально армированный в плоскости композит является ортотропным материалом, для него справедлива формула (42), содержащая одно отрицательное слагаемое. Именно наличие этого слагаемого может привести при  к возникновению «обратной вилки» для . Как показали дополнительные расчеты, «обратная вилка» для  возникает не всегда, а только лишь при некоторых углах  и при определенных типах композиций (в качестве альтернативы см. ниже табл.10).
Данные, приведенные в табл.5-7, показывают, что в отличие
от однонаправленно-армированного композита (см. табл.2) при перекрестном армировании в плоскости  оценки нижней и верхней границ уже различаются и «вилка Винера» достигает 10-14%.
Сравнение же данных, приведенных в табл.4 и 7, показывает, что при  в случае идеального механического сцепления (см. допущение 2
в разделе 1) арматуры со связующим расчетные значения , полученные
на основе соотношений (23), (40), (41) и (33) из [10], вдвое и более превышают соответствующие экспериментальные данные.
В работе [24] проведено сравнение с экспериментом расчетных значений , определенных на основе других структурных моделей (В.В.Болотина,
Г.А.Ванина, Д.С.Аболиньша, Хилла, Хашина-Розена и Савина-Хорошуна)
с привлечением традиционных формул осреднения для слоистой структуры [1], образованной последовательной укладкой перекрестно ориентированных однонаправленно-армированных монослоев. Как показано в [24], все эти модели при  дают еще большее расхождение с экспериментом по сравнению
с данными, приведенными в табл.7.
В работах [23,24] были определены расчетные значения  также на базе модели с одномерным (осевым) напряженным состоянием в волокнах [25] (модель с «одномерными» волокнами). Оказалось, что при использовании этой достаточно простой модели расчетные значения  для однонаправленно армированного бороалюминия плохо согласуются с экспериментом (см. табл.1
в [23]), а для ортогонально армированного бороалюминия эта модель описывает эффективные упругие характеристики такой композиции лучше (см. табл.2
в [24]), чем более сложные перечисленные модели.
Этот факт можно объяснить, по-видимому, следующими обстоятельствами. Так как в рамках модели с «одномерными» волокнами не учитывается напряженное состояние в арматуре в поперечном направлении, то тем самым
как бы моделируется наличие неидеального сцепления между волокнами
и связующим (отслоение на поверхностях контакта). Из экспериментальных
же наблюдений известно [16,26], что при создании однонаправленно-армированного композита в реальности удается добиться сцепления волокон
со связующим, близкого к идеальному (см. допущение 2 в разделе 1); в случае же перекрестного армирования на границах контакта волокон и связующего возникают многочисленные микроконцентраторы, приводящие к нарушению сцепления компонентов композиции, поэтому при перекрестном армировании
на практике, как правило, отсутствует идеальный механический контакт между связующим и волокнами. Именно этими обстоятельствами и можно объяснить
тот факт, что модель с «одномерными» волокнами плохо согласуется
с экспериментом для однонаправленно армированного композита [23]
и удовлетворительно для ортогонально-армированного бороалюминия [24].
В силу указанных обстоятельств и согласно замечанию 2, как и в [27], смоделируем неидеальный контакт между компонентами бороалюминиевой композиции при ортогональном армировании. Предположим, что в окрестностях границ контакта волокон со связующим произошло частичное разрушение материала; в этих областях материал имеет условный коэффициент Пуассона  и модуль упругости  (, ; см. (15)), под которым можно понимать следующее: , где  – параметр поврежденности материала связующего в указанных зонах (; для каждого k-го семейства арматуры в общем случае может быть задан свой параметр , ). Согласно замечанию 2, введем в рассмотрение дополнительно два фиктивных семейства волокон (), направления укладки которых определяются углами , , . Упругие константы этих волокон характеризуются значениями , ,  (см. (15)),
а их относительное объемное содержание в материале композиции зададим соотношениями
									(43)
где Ω – доля частично разрушенного материала по отношению к объемному содержанию арматуры (в общем случае для каждого k-го семейства волокон может быть задано свое значение , ).
Задавая ,  и подбирая Ω так, чтобы расчетные значения  новой композиции удовлетворительно согласовывались с экспериментом, можно оценить величину зон частичного разрушения материала композиции. (Следовательно, параметры , , Ω или их обобщения , , ,  могут рассматриваться как параметры настройки модели.) Так, в табл. 8 приведены значения  для случая ,  (где ,  – средние значения упругих констант сплава АД из табл.1) при указанных там значениях Ω, которые взяты такими же, как в [27].
По значениям Ω из табл.8 можно судить о весьма малом объеме частично разрушенного материала (не более 2% от объемной доли арматуры),
что действительно можно трактовать как отслоение волокон от связующего
на границах их контакта. Расчеты показывают, что чем меньше значения ,
тем меньше и значения Ω, а значит, и объем частично разрушенного материала. Например, при ,  величина Ω имеет значения порядка 0,05-0,18, т.е. в этом случае объемная доля частично разрушенного материала может составлять 5-18% от объемного содержания волокон.
Таблица 8.
Расчетные значения жесткости  (ГПа) ортогонально армированного бороалюминия (АД–В) с неидеальной адгезией компонентов композиции.
Плотности 
армирования	Объемная доля «разрушенного»	Угол армирования волокнами первого
 семейства , град	
		материала 	0	45	90	
0,2
0,25
0,3
0,35	0,2
0,15
0,1
0,05	0,007
0,02
0,006
0,02	144,5/145,5/146,3
122,7/134,2/146,3
177,9/179,9/181,8
175,0/181,5/188,1	102,4/90,4/79,4
81,2/63,0/48,5
103,1/92,2/82,1
76,4/60,5/47,3	144,5/145,5/146,3
86,1/95,6/105,7
114,0/115,9/117,7
60,1/63,8/67,5	
 Первое, второе и третье значения имеют тот же смысл, что и в табл. 7.	

Как видно из табл.8, при моделировании неидеальной адгезии (см. (43)) удается улучшить соответствие расчетных данных экспериментальным. Следует подчеркнуть, что здесь автор не задавался вопросом найти оптимальные значения параметров настройки моделей (, , Ω), а взял эти значения такими же, какие были использованы в [27]. Даже при этих «неоптимальных» значениях наблюдается удовлетворительное согласование с экспериментом, особенно для моделей из раздела 2 и из [10].
Таким образом, согласно табл.8, для адекватного описания упругого поведения армированных композитов нужно знать априори не только информацию о характеристиках материалов компонентов композиции, объемное содержание и направление укладки волокон в ней, но необходимо иметь и данные о характере сцепления арматуры со связующим (идеальная или неидеальная адгезия; степень разрушения материала в зоне контакта арматуры со связующим
и т.д.). К сожалению, эта полная информация о структуре композита
в экспериментальных работах (в частности, и в [22]), как правило, отсутствует, что затрудняет верификацию структурных моделей механики композитов.
Если ограничиться моделями с идеальной адгезией, то сопоставление данных, приведенных в табл.4 и 7, показывает, что с экспериментом лучше согласуются расчетные значения , соответствующие нижней границе эффективных жесткостей (см. (40), (41)).

3.3. Пространственно-армированные композиты.

В табл.9 приведены экспериментальные значения эффективных констант [20], а в табл.10 – расчетные значения (полученные по трем структурным моделям) этих же величин для стеклопластика, пространственно армированного в направлениях  прямоугольной декартовой системы координат (, , , , , ; см. рисунок), при двух наборах значений плотностей армирования [20]: для композиции I типа , , , ; для композиции II типа , , , . (В расчетах использовались значения упругих характеристик стекловолокон
и эпоксисвязующего, указанные в табл.1.)
Таблица 9.
Экспериментальные значения упругих констант стеклопластиков* [20].
Тип
компо-	Эффективные модули упругости, ГПа	Коэффициенты Пуассона	
зита												
I	21
22
24	28
29
30	13,5
14
15	11
11,5
12	3,3
3,6
4,1	3,1
3,5
4,0	3,4
3,86
4,3	0,128
0,130
0,136	0,165
0,170
0,174	0,130
0,140
0,150	0,122
0,128
0,140	
II	21
23
24	26
28
30	16
17
19	10,4
10,8
11,4	3,4
3,8
4,4	3,6
4,0
4,6	4,3
4,8
5,1	0,133
0,136
0,140	0,150
0,160
0,165	0,135
0,140
0,145	0,112
0,120
0,130	
* Минимальное, среднее и максимальное экспериментальные значения.
** соответствует значению , определенному при , .	

Как видно из табл.10, для модулей упругости второго рода  оценки сверху и снизу полностью совпадают, причем расчетные значения этих величин на 25-30% меньше экспериментальных. Последний факт объясняется, по-видимому, тем, что в действительности в рассматриваемых композициях волокна разных семейств уложены не строго в направлениях  [20]. Так, например, для II типа стеклопластика траектории армирования для третьего семейства волокон представляют собой эллипсы [20], поэтому в реальности вместо равенства  имеем переменное . (Строго говоря, для адекватного учета криволинейности траекторий армирования требуется дальнейшее развитие моделей, предложенных в разделах 1, 2 и в [10], подобно тому, как это было проделано ранее в работах [7,9,28].)
Кроме того, из табл.10 следует, что для рассматриваемых типов композиций из стеклопластика не наблюдается «обратная вилка» для величины , как это имело место для бороалюминиевых композиций (см. табл.7,8).
Таблица 10.
Расчетные значения упругих констант стеклопластиков*.
Тип
компо-	Эффективные модули упругости, ГПа	Коэффициенты Пуассона	
зита												
I	21,8
30,5
42,4	27,6
35,3
44,9	10,4
14,2
19,5	9,3
9,8
9,96	2,81
2,81
2,81	2,81
2,81
2,81	2,81
2,81
2,81	0,084
0,143
0,209	0,107
0,166
0,216	0,185
0,148
0,086	0,139
0,124
0,082	
II	24,6
34,6
48,5	26,4
36,0
49,1	12,2
19,0
29,3	10,4
10,8
10,9	3,08
3,08
3,08	3,08
3,08
3,08	3,08
3,08
3,08	0,103
0,161
0,219	0,110
0,168
0,226	0,162
0,146
0,077	0,149
0,140
0,079	
* Первое значение – расчет по формулам (40), (41) (нижняя граница жесткостей); второе значение – расчет по формулам (41) и (33) из [10]; третье значение – расчет по формулам (23), (41) с учетом обращения матрицы A (верхняя граница жесткостей).
** соответствует значению , определенному при , .	

Согласно табл.9 и 10, с экспериментом удовлетворительно согласуются коэффициенты Пуассона , рассчитанные по структурной модели из [10],
а модули упругости первого рода  – по структурным соотношениям (40), (41) (нижняя граница жесткостей). Модель же (23), (41) (верхняя граница жесткостей) дает завышенные расчетные значения ,  почти в два раза по сравнению
с экспериментом. Для этих величин «вилка Винера» достигает 64%.
В целом, на основе сопоставления табл.9 и 10 можно сделать вывод,
что в случае пространственного армирования композитной среды в качестве структурных соотношений целесообразно рекомендовать формулы (40), определяющие нижние границы эффективных жесткостей композиции.
В работе [27] проведено сравнение с экспериментом расчетных значений , , , вычисленных на основе структурных моделей других авторов [6,7,9,20]. Не будем здесь повторять соответствующие рассуждения.

ВЫВОДЫ

Предложенные структурные модели позволяют оценить верхние и нижние границы эффективных упругих характеристик армированных в произвольных направлениях композитных сред при общей анизотропии материалов компонентов композиции.
Для однонаправленно-армированной композитной среды верхние и нижние оценки эффективных термоупругих характеристик полностью совпадают.
Для перекрестно-армированных композитов соответствующая «вилка» может быть значительной. Проведенные расчеты показали, что при моделировании идеальной адгезии между волокнами и связующим с экспериментальными данными лучше согласуются структурные формулы, определяющие нижние границы эффективных жесткостей армированной композиции.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Тарнопольский Ю.М., Жигун И.Г., Поляков В.А. Пространственно-армированные композиционные материалы. Справочник. – М.: Машиностроение, 1987. – 224 с.
2.	Полимерные композиционные материалы: структура, свойства, технология. Учебное пособие. / под ред. А.А.Берлина. – СПб.: Профессия, 2009. – 560 с.
3.	Mohamed M.H., Bogdanovich A.E., Dickinson L.C., Singletary J.N., Lienhart R.R. A new generation of 3D woven fabric performs and composites // SAMPE J. – 2001. – Vol.37. – N3. – P.3-17.
4.	Schuster J., Heider D., Sharp K., and Glowania M. Measuring and modeling the thermal conductivities of three-dimensionally woven fabric composites // Mechanics of Composite Materials. – 2009. – Vol.45. – N2. – P.241-254.
5.	Медведский А.Л., Корнев Ю.В., Курбатов А.С. Исследование физико-механических свойств 4D углерод-углеродного композиционного материала на макро и микро уровнях при действии высоких температур // Труды МАИ. – 2010. – №41.
6.	Тарнопольский Ю.М., Поляков В.А., Жигун И.Г. Композиционные материалы, армированные системой прямых взаимно ортогональных волокон. 1.Расчет упругих характеристик // Механика полимеров. – 1973. – №5. – С.853-860.
7.	Крегер А.Ф., Мелбардис Ю.Г. Определение деформируемости пространственно армированных композитов методом усреднения жесткостей // Механика полимеров. – 1978. – №1. – С.3-8.
8.	Крегер А.Ф., Тетерс Г.А. Применение методов усреднения для определения вязкоупругих свойств пространственно армированных композитов // Механика композитных материалов. – 1979. – №4. – С.617-624.
9.	Крегерс А.Ф., Тетерс Г.А. Структурная модель деформирования анизотропных, пространственно армированных композитов // Механика композитных материалов. – 1982. – №1. – С.14-22.
10.	Янковский А.П. Определение термоупругих характеристик пространственно армированных волокнистых сред при общей анизотропии материалов компонент композиции. 1. Структурная модель // Механика композитных материалов. – 2010. – Т.46. – №5. – С.663-678.
11.	Жиков В.М., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1993. – 464 с.
12.	Кристенсен Р. Введение в механику композитов. – М.: Мир, 1982. – 334 с.
13.	Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетерс Г.А. Сопротивление жестких полимерных материалов. – Рига: Зинатне, 1972. – 500 с.
14.	Новацкий В. Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 872 с.
15.	Ванин Г.А. Микромеханика композитных материалов. – Киев: Наукова думка, 1985. – 304 с.
16.	Каримбаев Т. Д., Мыктыбеков Б. М., Панова И. М. Математические модели нелинейного деформирования однонаправленно-армированных композиционных материалов // Труды ЦИАМ. – М.: Изд-во ЦИАМ, 2005. – №1334. – 160 с.
17.	Олегин И.П., Нигирич Ю.Б., Расторгуев С.Г. Определение эффективных характеристик композиционных материалов методом конечно-элементного моделирования // XXI Всерос. конференция «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности». Сборник трудов. – Новосибирск: «Параллель», 2009. – С.183-189.
18.	Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. –
М.: Мир, 1987. – 542 с.
19.	Композиционные материалы. Справочник. / Под ред. Д.М.Карпиноса. – Киев: Наукова думка, 1985. – 592 с.
20.	Жигун И.Г., Душин М.И., Поляков В.А., Якушин В.А. Композиционные материалы, армированные системой прямых взаимно ортогональных волокон. 2. Экспериментальное изучение // Механика полимеров. – 1973. – №6. – С.1011-1018.
21.	Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред // Механика полимеров. – 1965. – №2. – С.27-37.
22.	Колпашников А.И., Арефьев Б.А., Мануйлов В.Ф. Деформирование композиционных материалов. – М.: Металлургия, 1982. – 248 с.
23.	Немировский Ю.В., Янковский А.П. Эффективные физико-механические характеристики композитов, однонаправлено армированных монотропными волокнами. Сообщение 2: Сопоставление расчетных характеристик
с экспериментальными данными // Известия вузов. Строительство. – 2006. – №6. – С.10-19.
24.	Немировский Ю.В., Янковский А.П. Определение эффективных физико-механических характеристик гибридных композитов, перекрестно армированных трансверсально-изотропными волокнами, и сопоставление расчетных характеристик с экспериментальными данными // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2007. – Т.13. – №1. – С.3-32.
25.	Немировский Ю. В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // ПМТФ. – 1969. – №6. – С.81-89.
26.	Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. – М.: Наука, 1987. – 80 с.
27.	Янковский А.П. Определение термоупругих характеристик пространственно армированных волокнистых сред при общей анизотропии материалов компонент композиции. 2. Сравнение с экспериментом // Механика композитных материалов. – 2010. – Т.46. – №6. – С.955-964.
28.	Крегер А.Ф. Определение деформативных свойств композиционного материала, армированного пространственно-криволинейной арматурой // Механика композитных материалов. – 1979. – №5. – С.790-793.

Поступила в редакцию 31 января 2013 года.