УДК: 532.135:536.242:678:065

ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА И ДИСПЕРГИРОВАНИЯ В КАМЕРЕ РОТОРНОГО РЕЗИНОСМЕСИТЕЛЯ

Баранов А.В., Дахин О.Х.*

Российский Государственный Университет нефти и газа им.И.М.Губкина,
г. Москва, Россия
*Волгоградский Государственный Технический Университет, г. Волгоград, Россия

РЕЗЮМЕ

Высоконаполненные полимерные композиции очень широко используются
в различных процессах современной промышленности, поэтому исследованию течения таких неньютоновских сред в различных каналах перерабатывающего оборудования уделяется большое внимание. Отмечены все важные факторы, которые необходимо учитывать при разработке математических моделей процессов течения таких сред. Рассмотрена модель течения специальных наполненных резиновых смесей в каналах
с учетом диссипации энергии, пристенного скольжения, тепловых граничных условий третьего рода, а также зависимости вязкости от температуры и степени диспергирования наполнителя.

Ключевые слова: теплообмен; неньютоновские жидкости; неизотермическое течение; полимеры; резиновые смеси; математическое моделирование

PROCESSES OF HEAT TRANSFER AND DISPERSION 
INSIDE AN INTERNAL ROTOR MIXER  

Baranov A.V., Dakhin O.Kh.*

Gubkin Russian State Oil and Gas University, Moscow, Russia
*Volgograd State Technical University, Volgograd, Russia

SUMMARY

Highly filled polymer compositions are widely used in various processes of modern industry, and therefore the study of the flow of such non-Newtonian media in the various channels of processing equipment paid much attention. All the important factors that should
be considered when developing mathematical models of the flow of such media are covered.
A model of the flow of special-filled rubber compounds in the channels with the energy dissipation, wall slip, thermal boundary conditions of the third kind, and the dependence
of the viscosity on temperature and the degree of filler dispersion has been developed.

Key words: heat transfer; non-Newtonian fluid; non-isothermal flow; polymers, rubbers; mathematical modeling

ВВЕДЕНИЕ

Значительное число публикаций посвящено изучению процесса смешения
в роторных смесителях периодического действия типа Бенбери. Это связано с тем,
что процесс смешения является важнейшей стадией переработки, от которой
во многом зависит качество получаемых резиновых смесей. Это базовый процесс
в подготовительном производстве и одновременно наиболее сложный
для математического описания. В литературе на сегодняшний день имеется достаточно широкий круг публикаций, посвященных изучению различных реодинамических и физико-химических аспектов смешения в резиносмесителях [1].
	С точки зрения математического моделирования процесс смешения, также как и другие процессы переработки полимеров, может быть описан с помощью методов механики сплошной среды. Известно [2], что наиболее интенсивное воздействие на материал происходит в серповидном пространстве между лопастью ротора и стенкой камеры. Поэтому при анализе деформации полимера
в роторных смесителях зачастую ограничиваются рассмотрением течения
в серповидном пространстве и в области минимального зазора. 

1. ОБРАЩЕННАЯ МОДЕЛЬ

Во многих работах при изучении гидродинамики процесса смешения
в роторных смесителях используется обращенная модель, когда ротор считается неподвижным, а стенка камеры вращается в противоположном направлении [3-6]. При этом осуществляется развертка серповидного пространства и используется декартова система координат. Такая постановка задачи предполагает течение между двумя сходящимися плоскими пластинами: одна из них горизонтальная,
а другая наклонная (рис.1). 

Рис.1. Геометрия канала и схема течения для обращенной модели.

На рисунке показано, что всю область деформации можно разбить на пять характерных зон. При внимательном рассмотрении можно увидеть, чем эти зоны отличаются друг от друга с точки зрения характеристик течения.
Необходимо отметить, что практически во всех вышеупомянутых работах использовалась гипотеза об идеальном прилипании смеси к стенкам камеры
и ротора. Исключение составляют лишь несколько работ. В [7] рассматривалось неизотермическое двухмерное течение “степенной” жидкости. Численное решение проведено методом конечных элементов. Модель пристенного скольжения предполагала наличие некоторого критического напряжения сдвига,
и скольжение на стенке появлялось только после того, как напряжения на стенке превышали данное критическое значение. 
Авторы работы [8] первоначально использовали стационарную модель неизотермического течения “степенной” жидкости в серповидном пространстве при условии прилипания к стенкам камеры и ротора. Однако уже в последующих публикациях [9,10] в математической модели были учтены нестационарность процесса и пристенное скольжение. При этом использовалась степенная зависимость скорости скольжения от напряжения сдвига на стенке, полученная авторами ранее в их экспериментальных работах [11,12]. 
Как было отмечено выше, при использовании обращенной модели используется декартова система координат. Для двумерного неизотермического течения математическая модель выглядит следующим образом
уравнения движения                                                   
									(1.1)
										(1.2)
уравнение энергии
			(1.3)
уравнение неразрывности
										(1.4)
где эффективная вязкость согласно степенному закону задается следующим образом
							(1.5)
А также температурная зависимость консистентности
								(1.6)
При этом скорость скольжения связана с напряжением сдвига на стенке следующим образом [11,12]
											(1.7)
Соответственно граничные условия принимают вид
					(1.8)
									(1.9)
				        (1.10)
							        (1.11)
где Т1 и Т2 – температуры охлаждающей воды со стороны камеры и ротора соответственно. 
Используются также граничные условия на входе и выходе из зоны деформации
						        (1.12)
Начальные условия
								        (1.13)
При сложном сдвиговом течении резиновой смеси в поле переменных напряжений и скоростей сдвига наряду с выравниванием концентраций ингредиентов происходит разрушение агломератов технического углерода,
что существенным образом влияет на качество готовой смеси. Это объясняет, почему необходимо в математическую модель включить уравнение, описывающее кинетику диспергирования технического углерода. При формулировании последнего предполагается, что степень диспергирования однозначно определяется удельными энергозатратами и не зависит в явном виде
от температуры и скорости деформации. Это было экспериментально показано
в целом ряде работ [13-15]. В разных работах исследования проводили
на лабораторном пластографе Brabender, на промышленном и лабораторном смесителях Banbury. При этом изучали процесс приготовления смесей на основе разных каучуков, с использованием различных типов и разных дозировок технического углерода. Таким образом, уравнение кинетики диспергирования технического углерода принимается в следующем виде
							        (1.14)
Первое интегрирование уравнений движения (1.1) и (1.2) с учетом (1.5) дает
				        (1.15)
						        (1.16)
где С – константа интегрирования, определяемая из граничных условий; y0 – ордината максимального значения компоненты скорости vx.
Температурная зависимость вязкости приводит к необходимости проводить решение задачи численными методами по итерационной схеме, в первом приближении которой используется известное [3] значение функции y0(x) для изотермического течения ньютоновской жидкости
								        (1.17)
где h* соответствует сечению, в котором давление проходит через свой максимум.
Температурное поле ищется в следующем безразмерном виде
														       (1.18)
где  – полиномы Лежандра, ортогональные на отрезке [ - 1,  1 ]: .
         Неизвестные температуры внутренней поверхности стенки ротора θр
и камеры θк могут быть найдены с помощью тепловых граничных условий (1.9)
и (1.11)
							        (1.19)
							        (1.20)
где

На каждом шаге итерации неизвестные функции Bj  находили путем совместного использования методов коллокаций, Гаусса и конечных разностей [9,10]. 
При рассмотрении процесса деформирования резиновой смеси становится очевидно, что только незначительная часть смеси проходит через зазор между стенкой камеры и гребнем ротора, основная же масса смеси вовлекается
в противоток. Чрезмерное стремление к увеличению зазора может привести
к уменьшению сдвиговых напряжений настолько, что не будет обеспечено надлежащее диспергирование наполнителей. При слишком малой высоте зазора расход смеси через область высоких напряжений будет мал, поэтому существенно снижается доля смеси, прошедшей через минимальный зазор и, соответственно, вероятность надлежащего разрушения агломератов наполнителя. Из приведенных физических соображений очевидно, что зазор между гребнем лопасти и стенкой камеры должен иметь некоторое оптимальное значение, при котором достигаются максимальные смесительный и диспергирующий эффекты. Исходя из этих соображений, автор [16] в качестве критерия оптимизации высоты диспергирующего зазора взял произведение касательного напряжения в зазоре
на объемный расход через него. Однако выше было показано, что степень диспергирования однозначно определяется удельными энергозатратами [13-15].
В связи с этим более логичным представляется принять в качестве такого критерия оптимизации Ad следующее выражение [8,10]
									        (1.21)
где  – касательное напряжение на стенке гребня лопасти ротора;  – средняя скорость сдвига в области минимального зазора; Q – объемный расход смеси через зазор.
С помощью данного критерия была вычислена оптимальная высота зазора
для резиносмесителя с объемом камеры 250 л. Интересно, что это значение составило примерно 5 мм, что соответствует зазору на уже действующих смесителях. Очевидно, многолетний опыт эксплуатации данных смесителей
во всем мире доказывает, что именно это значение и является оптимальным. Кроме этого, расчеты по предложенному критерию дали прекрасное совпадение
с оптимальной высотой зазора h=1,5 мм, найденной авторами [17] экспериментально на опытной установке для смеси на основе бутадиен-метил-стирольного каучука (68 мас.ч.) и техуглерода (32 мас.ч.). Именно данное значение высоты h обеспечивало наилучшую гомогенизацию и наибольшую степень диспергирования.
Используя критерий (1.21), были произведены расчеты при различных высоте зазора hd и ширине гребня лопасти ld. В результате были построены серии кривых (рис.2). Положение максимума на каждой из них показывает оптимальное значение высоты зазора hопт при различных значения ld (1 – ld=18 мм; 2 – ld=24 мм; ld=30 мм).

                              Рис.2.                                                                  Рис.3.

Из рис.2 видно, что с увеличением ширины гребня лопасти hопт растет, поэтому дальнейшее обобщение полученных результатов показано на рис.3,
где отражена зависимость hопт(ld) для различных отношений h0/lc (1 – h0/lc=0,36;
2 – h0/lc=0,26; 3 – h0/lc=0,16), где lc – длина наклонной части канала на рис.1. Представленные данные, таким образом, могут быть использованы
для оптимизации основных геометрических параметров лопасти ротора
для резиносмесителей любых типоразмеров.
Очевидно, что в результате развертки серповидное пространство далеко
не всегда переходит в сходящийся зазор между наклонными пластинами, когда функция h(x) является линейной. Однако представленная выше модель допускает введение некоторой общей функции h(x), описывающей высоту сходящегося канала в направлении потока.

2. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА

Решается прямая задача, когда ротор вращается с заданной скоростью,
а камера неподвижна. Используется цилиндрическая система координат с осью Оz, направленной вдоль оси ротора. Ось  направлена в сторону вращения ротора. При формулировании математической модели делается ряд общепринятых допущений. Вследствие высокой вязкости резиновых смесей
их ламинарное течение осуществляется при низких значениях критерия Рейнольдса. Это позволяет пренебречь инерционными членами в уравнениях движения. Используются следующие допущения

Таким образом, для определения двух компонент скорости  и  используются два уравнения движения в напряжениях
									(2.1)
									(2.2)
В свою очередь, выражения компонент напряжений будут определяться равенствами
									(2.3)
											(2.4)
С реологической точки зрения резиновая смесь считается аномально-вязкой жидкостью, подчиняющейся степенному закону
					(2.5)
В процессе течения полимерной композиции в поле переменных напряжений и скоростей сдвига наряду с выравниванием концентраций в смеси происходит разрушение агломератов наполнителя. Этот фактор приводит
к снижению вязкости композиции. Применительно к резиновым смесям снижение эффективной вязкости с увеличением степени диспергирования технического углерода объясняется выходом окклюдированного каучука из структурных полостей агломерата и уменьшением эффективного объема дисперсной фазы [2], поэтому в формуле (2.5) учитывается зависимость консистентности не только
от температуры, но и от степени диспергирования наполнителя – технического углерода. Такая постановка требует введения уравнения, описывающего кинетику диспергирования  в неоднородном поле напряжений и скоростей сдвига (1.14). 
Зависимость консистентности от температуры и степени диспергирования
				(2.6)
Низкие значения температуропроводности резиновой смеси а (порядка ) позволяют пренебречь в уравнении энергии переносом тепла теплопроводностью вдоль потока по сравнению с переносом за счет конвекции. Таким образом, уравнение энергии для нестационарного температурного поля можно записать в виде
													(2.7)
Уравнение неразрывности имеет вид
												(2.8)
Длина зоны деформации равна длине дуги захвата материала вдоль окружности полукамеры. Для резиновых смесей длина дуги деформации материала определялась по длительности действия давления на установленный
в камере резиносмесителя датчик и составляет 0,2-0,3 длины окружности [18]. Этой дуге будет соответствовать некоторое значение аргумента φс. В данной работе приближенно принималось φс~π/2.
Лопасть наклонена к оси ротора под  некоторым углом β. Поэтому в тот момент, когда лопасть захватывает смесь из межроторного пространства, не вся поверхность лопасти сразу контактирует с полимером. Однако с целью упрощения постановки задачи предполагалось, что в пространстве между лопастью ротора и стенкой камеры деформация осуществляется по всей длине лопасти.
Теплопередача между резиновой смесью и охлаждающей водой описывается тепловыми граничными условиями третьего рода. В общем случае предусматривается, что температура воды, также как и коэффициенты теплоотдачи внутри стенки камеры и внутри лопастных роторов, могут быть разными. В связи с этим тепловые начальные и граничные условия записываются следующим образом
							(2.9)
						        (2.10)
									        (2.11)
									        (2.12)
								        (2.13)
При постановке задачи предполагалось, что в области под верхним затвором
и между роторами осуществляется простое перемешивание с осреднением таких показателей смеси как степень диспергирования и температура. В связи с этим начальное условие (2.13) используется для моделирования течения перед первым оборотом ротора. Перед каждым последующим i+1 оборотом ротора вместо условия (2.13) используется средняя температура смеси после i-го оборота ротора. Аналогичным образом осредняется после каждого оборота ротора степень диспергирования.
В отличие от работ [19,20] в данной постановке задачи учитывается скорость скольжения на стенке, поэтому граничные условия для компонент скорости имеют вид
				        (2.14)
							        (2.15)
Кроме этого, используются условия на входе и выходе для давления
						        (2.16)
						        (2.17)
Таким образом, приведенная выше система уравнений представляет собой математическую модель неизотермического диспергирующего течения аномально-вязкой композиции в серповидном пространстве резиносмесителя. Очевидно, что точное решение задачи получить невозможно, поэтому в данной работе используются приближенные методы.
Первое интегрирование уравнений движения (2.1) и (2.2) по координатам  и z соответственно дает
								        (2.18)
								        (2.19)
где при  и при  соответствующие компоненты напряжений  и  равны нулю.
C учетом реологических соотношений (2.3) и (2.4) последние зависимости примут вид
						        (2.20)
							        (2.21)
где эффективная вязкость  определяется по (2.5).
Численное решение уравнений (2.20) и (2.21) осуществляли
по итерационной схеме. На первом шаге итерации использовали значения 
и , полученные для изотермического течения ньютоновской жидкости. Затем находили изотермическое распределение давления, скоростей и напряжений сдвига. Используя эти данные, решали уравнение энергии для нахождения поля температуры. При этом температурное поле искали в следующем виде
	  (2.22)
где  – полиномы Лежандра, ортогональные на отрезке [ - 1,  1 ]

Неизвестные температуры внутренней поверхности стенки ротора θр и камеры θк могут быть найдены путем подстановки (2.22) в тепловые граничные условия (2.9)-(2.10)

где

Путем совместного использования методов коллокаций, Гаусса и конечных разностей [19] находили неизвестные функции Bj. 
После нахождения полей температуры и степени диспергирования каждая итерация заканчивалась нахождением эффективной вязкости по (2.5)
с использованием (2.6). После этого на следующем шаге итерации находили уточненное распределение напряжений, скоростей и давления.
Для сопоставления теоретических результатов с опытными данными были проведены эксперименты на лабораторном смесителе. Использовали резиновую смесь следующего состава (мас. ч.): СКМС-30АРКМ-15 (100), технический углерод (60), оксид цинка (3), стеарин технический (2), кумароноинденовая смола (4), защитный воск (1), диафен ФП (2), масло ПН-6 (3). Использовались следующие значения реологических и теплофизических констант:
; n=0,25; ; ; ; ; ; ; .
При проведении экспериментов степень диспергирования технического углерода определяли с помощью микроскопа при просмотре образцов набухшей
в бензине смеси.
Выше уже отмечалось, что при большом зазоре hd низкие значения касательных напряжений не обеспечивают необходимого уровня диспергирования технического углерода. Слишком малый зазор приводит
к небольшому расходу смеси через область высоких напряжений, что снижает производительность смесителя. На рис.4 представлена зависимость степени диспергирования технического углерода от размера минимального зазора между ротором и стенкой камеры hd при фиксированных времени смешения (3,5 мин.)
и числе оборотов ротора (40 мин.-1). Из рисунка видно, что и теоретические расчеты (сплошная линия), и экспериментальные данные (точки) отражают существование оптимального значения hd.
Таким образом, в работе представлена математическая модель резиносмешения, учитывающая все основные особенности процесса: существенная неизотермичность как результат процессов теплопередачи
и диссипации энергии, тепловые граничные условия третьего рода, пристенное скольжение, неньютоновский характер поведения смеси, а также зависимость консистентности не только от температуры, но и от степени диспергирования наполнителя - технического углерода. Такая постановка требует введения уравнения, описывающего кинетику диспергирования в неоднородном поле напряжений и скоростей сдвига. Из хорошей корреляции теоретических расчетов
и экспериментальных данных следует, что предложенная модель может быть рекомендована в инженерной практике при различных оптимизационных расчетах основных конструктивных элементов лопасти ротора для любых резиносмесителей рассматриваемого типа. 

Рис.4.

ЛИТЕРАТУРА

1. 	Баранов А.В. Моделирование процессов неизотермического течения
и диспергирования в камере роторного резиносмесителя // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2003. – Т.9. – №3. – С.297-306.
2. 	Вострокнутов Е.Г., Виноградов Г.В. Реологические основы переработки эластомеров. – М.: Химия, 1988. – 232 с.
3. 	Wagenknecht U., Meiβner K., Reher E.-O., Poltersdorf B. Zum einfluβ
der rotorform auf die stromungs verhaltnisse im knetspalt eines innen mischers // Plaste und Kautsch. – 1988. – B.35. – N5. – S.175-177.
4. 	Yagii K., Kawanishi K. Flow analysis in an internal mixer // Int. Polym. Process. – 1990. – Vol.5. – N3. – P.164-177.
5. 	Kim J.K., White J.L., Min K. Simulation of flow and mixing in an internal mixer //
Int. Polym. Process. – 1989. – Vol.4. – N1. – P.9-18.
6. 	Kim J.K., White J.L. Non-Newtonian and non-isothermal modeling of 3D-flow
in an internal mixer // Int. Polym. Process. – 1991. – Vol.6. – N2. – P.103-110.
7. 	Nassehi V., Freakley P.K. Spreader blade analogy of flow past an internal mixer rotor // Int. Polym. Process. – 1991. – Vol.6. – N2. – P.91-97.
8. 	Баранов А.В., Прохорова Л.Н., Скок В.И., Викуленкова М.Е. Моделирование неизотермического течения резиновой смеси в камере роторного смесителя // Каучук и резина. – 1993. – №2. – С.38-40.
9. 	Баранов А.В., Дахин О.Х., Герасименко В.А. Неизотермическое диспергирующее течение резиновой смеси в камере смесителя // Каучук
и резина. – 1994. – №4. – С.33-36.
10. 	Malkin A.Y., Baranov A.V., Dakhin O.Kh. Non-isothermal dispersive flow
of a rubber mixture inside an internal rotor mixer // Int. Polym. Process. – 1995. – Vol.10. – N2. – P.99-104.
11. 	Баранов А.В., Прохорова Л.Н., Скок В.И., Викуленкова М.Е. Пристенное скольжение наполненных резиновых смесей на основе БСК // Каучук
и резина. – 1993. – №1. – С.12-15.
12. 	Malkin A.Y., Baranov A.V., Vickulenkova M.E. Experimental estimation of wall slip for filled rubber compounds // Rheol. Acta. – 1993. – Vol.32. – N2. – P.150-155.
13. 	Ponce M.A., Ramirez R.R. Mixing processing of foller-reinforced rubber // Rubber Chem. Technol. – 1981. – Vol.54. – N2. – Р.211-216.
14. 	Белокур С.П., Торнер Р.В., Тихонов Н.Н. Энергетические характеристики процесса диспергирующего смешения // Каучук и резина. – 1986. – №4. – С.21-23.
15. 	Malkin A.Y., Baranov A.V., Viculencova M.E. Estimation of Quality of Mixing // Int. Polym. Process. – 1993. – Vol.8. – N2. – Р.99-103.
16. 	Hashizume Shinzi. Analysis of irregular dispersion of carbon black into polymer material in an oval type mixer // J. Soc. Rheol. Jap. – 1987. – Vol.15. – N3. – Р.123-130.
17. 	Шихирев Н.И., Рассказов А.Н., Трофимов А.П. Влияние зазора между стенкой камеры и вершиной лопасти ротора резиносмесителя на эффективность формирования резиновых смесей // Каучук и резина. – 1991. – №12. – С.16-18.
18. 	Губер Ф.Б., Шихирев Н.И. Оценка условий деформирования смесей
в резиносмесителях с овальными роторами // Каучук и резина. – 1976. – №9. – С.23-25.
19. 	Баранов А.В., Балинов А.И. Моделирование теплообмена и диспергирующего течения резиновой смеси в камере роторного смесителя // Каучук и резина. – 1998. – №4. – С.38-45.
20. 	Malkin A.Y., Baranov A.V., Balinov A.I. Modeling non-isothermal mixing in a rotor mixer // Int. Polym. Process. – 1999. – Vol.14. – N2. – P.115-121.

Поступила в редакцию 26 июля 2013 года.