УДК: 539.376

АНАЛИЗ ПОЛЗУЧЕСТИ АРМИРОВАННЫХ БАЛОК-СТЕНОК
ИЗ НЕЛИНЕЙНО-НАСЛЕДСТВЕННЫХ МАТЕРИАЛОВ В РАМКАХ ВТОРОГО ВАРИАНТА ТЕОРИИ ТИМОШЕНКО

Янковский А.П.

Институт теоретической и прикладной механики 
им. С. А. Христиановича СО РАН, г. Новосибирск, Россия

РЕЗЮМЕ

На основе второго варианта теории Тимошенко с привлечением идеи метода шагов по времени в дискретные моменты времени сформулирована задача неупругого деформирования продольно-армированных балок-стенок с учетом их ослабленного сопротивления поперечному сдвигу. Механическое поведение материалов фаз композитных балок описывается нелинейно-наследственной теорией ползучести Ю. Н. Работнова. Исследовано механическое поведение шарнирно опертых балок, показавшее, что применение классической теории Бернулли к расчету неупругого изгиба относительно высоких армированных балок приводит к предсказанию неоправданно заниженной их податливости. Проведенные расчеты продемонстрировали наличие в связующем таких балок значительных неупругих деформаций поперечных сдвигов, которые активно развиваются в течение времени и учет которых обязателен.

Ключевые слова: ползучесть; структурная теория; армирование; нелинейная наследственность; неупругое деформирование; теория Тимошенко

ANALYSIS OF CREEP OF REINFORCED BEAMS-WALL
FROM NONLINEAR-HEREDITARY MATERIALS WITHIN
OF THE SECOND VARIANT OF TYMOSHENKO THEORY

Yankovskii A.P.

Khristianovich Institute of theoretical and applied mechanics the Siberian Branch, Russian Academy of Science, Novosibirsk, Russia

SUMMARY

On the basis of the second variant of the Timoshenko theory with the involvement of the idea of the steps method in time at discrete points in time the task is formulated for inelastic deformation of the longitudinal-reinforced beams-walls considering their weakened resistance to lateral shear. Mechanical behavior of phase materials of beams describes nonlinear-hereditary Rabotnov theory of creep. Mechanical behavior of simply supported beams is investigated; it is found that the application of the classical Bernoulli theory to the calculation of inelastic bending relatively high reinforced beams leads to the prediction of unreasonably understated their compliance. The calculations have demonstrated the presence in a binder of such beams the significant inelastic deformations of transverse shears, which actively develop over time and which accounting is required.
Key words: creep; structural theory; reinforcement; nonlinear heredity; inelastic deformation; Tymoshenko theory

ВВЕДЕНИЕ

Практически все конструкционные материалы при длительном нагружении в той или иной степени проявляют реономные свойства [1,2]. Это относится
и к материалам фаз композитов и конструкций из них. Поэтому актуальной является проблема исследования особенностей деформирования композитных конструкций в условиях ползучести. При решении этой проблемы в первую очередь необходимо построить определяющие соотношения для композитной среды, учитывающие ползучесть материалов ее фаз. Так, в работах [3,4 и др.] исследованы реологические свойства зернистых (наполненных) композитов,
в [5,6 и др.] моделируется вязкоупругое поведение однонаправленно армированных композитов. В работах [7,8 и др.] построены структурные модели вязкоупругого поведения пространственно-армированных волокнистых композитов. К определенному недостатку работ [7,8] относится то,
что монолитная в реальности композитная среда представляется в виде отдельных однонаправленно-армированных стержней, ориентация которых соответствует заданным направлениям армирования; при этом указанные армированные стержни получаются несвязанными между собой в единое целое (в монолитный материал). В работе [9] была предложена структурная модель, лишенная указанного недостатка.
В перечисленных работах поведение материалов фаз предполагалось линейно- или нелинейно-наследственным, что свойственно в основном полимерным компонентам композиции. Структурные же модели, описывающие ползучесть металлокомпозитов, на сегодняшний день отсутствуют. Исключение составляют лишь модели, описывающие механическое поведение металлокомпозитов на стадии установившейся ползучести материалов всех фаз [10,11 и др.].
Так как нелинейно-наследственная теория ползучести Ю.Н.Работнова описывает механическое поведение не только полимерных материалов,
но и некоторых металлических сплавов и сталей на стадии их упрочнения
и установившейся ползучести при активном нагружении [1,2], то определяющие соотношения этой теории могут быть использованы для построения структурных моделей механического поведения металлокомпозитов, материалы компонентов которых подчиняются этой теории ползучести, что и было проделано в [9].
В связи с этим в настоящей работе рассматривается реономное поведение армированных балок-стенок, материалы фаз которых подчиняются нелинейно-наследственной теории ползучести Ю.Н.Работнова.
В [12] было показано, что в условиях установившейся ползучести всех компонентов композиции изгибаемых металлокомпозитных балок-стенок необходимо учитывать их ослабленное сопротивление поперечным сдвигам, поэтому и в настоящем исследовании деформирование балок рассматривается
в рамках второго варианта теории Тимошенко.

1. МЕТОД ШАГОВ ПО ВРЕМЕНИ

Предполагается, что материалы всех фаз композитной балки-стенки однородны, изотропны и их механическое поведение описывается соотношениями нелинейно-наследственной теории ползучести Ю.Н.Работнова
[1,2,13]
	(1)
где
		(2)
,  – компоненты тензоров напряжений и деформаций в k-м составляющем композиции (индексом  помечаются характеристики связующего материала, а индексом  – характеристики материала k-го семейства армирующих волокон);  – заданная функция (известная из эксперимента), являющаяся при умножении на 3/2 коэффициентом пропорциональности между интенсивностями напряжений  и деформаций  в k-м компоненте композиции;  – известная из эксперимента зависимость объемного модуля материала k-го составляющего композиции от ,  (функции ,  или  известны из диаграмм мгновенного деформирования материала k-го компонента композиции; зависимость этих функций от обоих аргументов позволяет учитывать свойство разносопротивляемости материалов фаз, которое часто наблюдается
в экспериментах [1,2,13,14]); ,  – известные разностные ядра ползучести для шарового тензора  и девиатора  напряжений k-го компонента композиции соответственно; N – количество семейств армирующих волокон;  – символ Кронекера; t – время.
Как обычно [1,2,13,14], предполагается, что до начального момента времени  все материалы фаз и композиция в целом находятся в естественном состоянии
			(3)
Соотношениями (1), (2) с учетом (3) хорошо описывается нелинейно-наследственное поведение не только полимерных материалов [1,2,15],
но и упругопластическая наследственность некоторых металлов на стадии
их активного нагружения, например, алюминиевых сплавов [14,16], некоторых марок сталей [1,16] и др.
З а м е ч а н и е. Если материал k-го компонента композиции не обладает наследственными свойствами (или ими можно пренебречь), то в (1) ядра ползучести следует задать тождественно равными нулю. При этом соотношения (1) будут описывать нелинейно-упругое (или упругопластическое, согласно деформационной теории) поведение материала k-го компонента композиции, разносопротивляющегося растяжению и сжатию [13]. Известно, что для многих материалов ползучесть при всестороннем сжатии или растяжении пренебрежимо мала и ее можно не учитывать [1,2,13,14]. В этом случае в (1) следует принять .
В общем случае ядра ползучести в (1) являются слабосингулярными,
т.е. имеют следующий вид [1,2,14]
		(4)
где  – регулярные функции (возможно, постоянные).
Так как даже простейшие задачи неустановившейся ползучести для изотропных элементов конструкций требуют привлечения численных методов интегрирования по времени [1,17,18], то тем более это касается армированных композитных конструкций и сред [19 и др.]. Поэтому в настоящем исследовании разработаем численно-аналитический подход к моделированию нелинейно-наследственного поведения армированных балок-стенок, базирующийся на идее метода шагов по времени [1,13,17,18]. С этой целью дискретизируем задачу
по времени t, т.е. будем рассматривать ее решения в моменты времени  (). Предполагаем, что в моменты времени  () решение задачи уже известно, т.е. известны значения величин (см. (1), (2))
	(5)
На основе (1), (2) построим определяющие соотношения для рассматриваемой композиции в момент времени
							(6)
где  – шаг по времени (возможно, переменный).
С этой целью представим интегралы в правых частях (1) в виде сумм интегралов на временных интервалах  и аппроксимируем функции ,  (см. (1), (4)) на этих интервалах
по линейному закону [20]. После вычисления получающихся интегралов [20]
и элементарных преобразований, аналогичных приведенным в [9], равенства (1)
с учетом (2), (5) можно записать в матричной форме
						(7)
где

								(8)
		(9)
 – симметричные -матрицы, ненулевые компоненты которых  () согласно (1), (8), (9) определяются так
	(10)
,  – шестикомпонентные вектор-столбцы напряжений и деформаций
в материале k-го составляющего композиции;  – известный в момент времени  шестикомпонентный вектор-столбец в том же материале, который можно трактовать как вектор начальных напряжений ; звездочка в верхнем индексе означает операцию транспонирования. Отметим: в работе [9] было получено выражение для величин  в предположении, что ядра ползучести в (1) являются регулярными (, см. (4)) и представляют собой суммы экспоненциальных функций.
Таким образом, соотношения (7) с учетом (8)-(10) в момент времени  можно трактовать как определяющие соотношения для k-го компонента композиции, механическое поведение которого характеризуется зависимостями нелинейно-упругого изотропного тела с начальным напряженным состоянием.
Линеаризуем соотношения (7), предполагая, что левые части соотношений (1) с учетом (2) удовлетворяют достаточным условиям сходимости метода последовательных приближений (см. стр. 199 в [13]), аналогичного методу переменных параметров упругости [17]. Считаем, что в момент времени 
на некоторой m-й итерации известны приближения деформаций  во всех компонентах композиции, тогда в силу формул (2) известны и m-е приближения функций , . Для следующего же s-го приближения деформаций 
и напряжений  будет справедливо линейное матричное соотношение (см. (7))
				(11)
где ,  – шестикомпонентные вектор-столбцы, имеющую структуру, аналогичную (8), и подлежащие определению;  – симметричные
-матрицы, компоненты которых  известны на s-й итерации
и вычисляются по формулам (10) при замене ,  их m-ми приближениями , . Матрицы  можно трактовать как матрицы жесткостей некоторых фиктивных изотропных материалов, соответствующих в момент времени  реальному материалу k-го компонента композиции.
В работе [9] на основе соотношений (11) в момент времени  на s-й итерации были получены линейные определяющие соотношения для композитной среды, имеющие вид
							(12)
где ,  – шестикомпонентные вектор-столбцы, характеризующие s-ые приближения осредненных напряжений и деформаций в композиции (имеют структуру, аналогичную (8));  – известный шестикомпонентный вектор-столбец, определяемый векторами , компонентами матриц  (см. (10), (11)) и структурой армирования, который в момент времени  можно трактовать как вектор «начальных напряжений» в композиции;  – известная на s-й итерации -матрица, компоненты которой  () можно трактовать как «эффективные жесткости» композиции и которая определяется компонентами матриц  и структурой армирования.
Далее в настоящем исследовании предполагаем, что в каждой точке композитного тела в момент времени  на s-й итерации в соотношении (12) известны все компоненты вектора  и матрицы  (см. [9]).
2. ИЗГИБ ПРОДОЛЬНО-АРМИРОВАННЫХ БАЛОК-СТЕНОК С УЧЕТОМ ОСЛАБЛЕННОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПОПЕРЕЧНОМУ СДВИГУ

В прямоугольной декартовой системе координат  рассмотрим тонкостенный элемент типа балки-стенки прямоугольного поперечного сечения, армированной в продольном направлении  (рис.1). Высота балки в направлении  постоянна и равна 2h (), ее толщина B в направлении  также постоянна (), а длина – L. Отсчетную плоскость  совместим
со срединным слоем балки.

Рис.1. Двухопорная продольно-армированная балка-стенка.

Как показано в работах [12,21], при изгибе продольно-армированных балок-стенок необходимо учитывать их ослабленное сопротивление поперечным сдвигам как в условиях установившейся ползучести, так и при нелинейно-упругом кратковременном нагружении даже в тех случаях, когда балки являются металлокомпозитными. Очевидно, что учет ослабленного сопротивления поперечному сдвигу необходим и при изучении неустановившейся ползучести таких балок. С этой целью воспользуемся вторым вариантом теории Тимошенко [12,21], в рамках которой кинематические соотношения в геометрически линейной постановке имеют вид (эти соотношения формально совпадают
с равенствами (5)-(8) из [12], если там под  понимать компоненты тензора деформаций, а под  – компоненты вектора перемещений)
	(13)
(14)
где ,  – осевое смещение и прогиб точек балки;  – перемещение точек срединного слоя () в продольном направлении ; ,  –деформации поперечного сдвига на верхней () и нижней () горизонтальных поверхностях балки-стенки; при  функция  определяет деформацию поперечного сдвига в срединном слое .
В соотношениях (13), (14) неизвестными являются функции , , , , зависящие от времени t и только от одной пространственной переменной .
Согласно статической гипотезе Тимошенко
										(15)
откуда на основании структурных формул из [9] при продольном армировании балки-стенки следует (см. (12))
										(16)
При этом из равенств (12) с учетом (8), (15), (16) получаем

отсюда
			(17)
Зная выражения для компонентов тензора деформаций (13), (17), согласно равенству (12) в момент времени  можем определить s-е приближения всех ненулевых компонентов осредненных напряжений в каждой точке балки-стенки
		(18)
где 
					(19)
 – компоненты матрицы ;  – компоненты вектора  (см. (12)).
На основании выражений (12) с учетом (13), (18), (19) в момент времени  на s-й итерации можем определить все внутренние силовые факторы в балке-стенке , , . Выражения для них формально совпадают
с соотношениями (12), (13) из [12], если в последних учесть переобозначения
	(20)
где (см. (12))
		(21)
Согласно (12), (21) , ,  имеют смысл известных «начальных» силовых факторов.
В квазистатической постановке задачи внутренние силовые факторы должны удовлетворять общеизвестным уравнениям равновесия (см. (14) в [12]),
к которым необходимо добавить два статических граничных условия на верхней
и нижней горизонтальных поверхностях балки-стенки
	(22)
где 
   напряжения  на указанных поверхностях предполагаются заданными
(см. рис.1);  известны как «начальные» напряжения.
Из равенств (22) следует
	(23)
т.е. в момент времени  на текущей s-й итерации приближения для функций  в соотношениях (13), (14) и в выражениях для внутренних силовых факторов (см. (12) в [12] с учетом (20)) известны, так как значения функции , а значит, и  предполагаются известными из решения
на предыдущей m-й итерации.
После подстановки внутренних силовых факторов в уравнения равновесия (см. (14) в [12]) получим замкнутую систему трех разрешающих уравнений, которая формально совпадает с (17) в [12], где нужно учесть (20)
и дополнительные переобозначения
	(24)
где  – заданные в момент времени  нормальные напряжения на верхней (+) и нижней (–) горизонтальных поверхностях балки-стенки (см. рис.1,
где , );  – приведенные погонные внешние нагрузки, действующие в направлении  и порожденные объемными силами;  – приведенный погонный внешний момент от объемных сил.
Система разрешающих уравнений (см. (17) в [12] с учетом (20), (24)) содержит три неизвестные кинематические переменные , , , причем, согласно (21)-(23), правые части в этих уравнениях – известные функции переменной .
Для однозначного интегрирования системы разрешающих уравнений необходимо использовать общеизвестные статические и кинематические граничные условия [12,21], которые формально совпадают с равенствами (18), (19), (21), (22) из [12], где нужно учесть (20) и дополнительные переобозначения
	(25)
Здесь: ,  – заданные в момент времени  на конце балки (с координатой ) продольная и поперечная силы соответственно;  – заданный на конце балки () изгибающий момент;  – заданный в сечении  прогиб;  – заданное на торцевой вертикальной поверхности (с координатой ) балки-стенки перемещение в продольном направлении .
Так как система разрешающих уравнений имеет шестой порядок,
то для ее однозначного интегрирования на каждом конце балки должны быть заданы три статических или три кинематических граничных условия (см. (18) или (19), (21), (22) в [12] с учетом (20), (25)). Возможно задание и смешанных граничных условий (например, при шарнирном опирании).

3. МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА

В качестве модельной рассмотрим статически определимую задачу изгиба двухопорной балки-стенки под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки (см. рис.1). В этом случае имеем
(26)
(27)
							(28)
Согласно структурным соотношениям из [9], при продольном армировании балки и  получаем , поэтому из (23) с учетом (26) следует
				(29)
Система уравнений равновесия (см. (14) в [12]) с учетом (26), (27) может быть однозначно проинтегрирована
	(30)
Система разрешающих уравнений с учетом (20), (24), (25) примет вид
		(31)
			(32)
где ; правые части – известные функции, определяемые равенствами (30) и (21).
Из уравнения (32) с учетом (30) получаем
		(33)
т.е. в момент времени  на s-й итерации деформация поперечного сдвига срединного слоя балки-стенки известна, поэтому в (31) последние слагаемые
в левых частях можно перенести вправо
	(34)
где правые части согласно (30), (33) – известные функции переменной .
Двухточечная граничная задача (28), (34) может быть решена численно методом пристрелки [22] с привлечением абсолютно устойчивых неявных схем Рунге-Кутты [23] для интегрирования возникающих при этом вспомогательных начальных задач.
Аналогично рассмотренной выше двухопорной балке можно получить явные выражения для внутренних силовых факторов , , 
и при других типах закрепления и нагружения статически определимых балок-стенок, например для консольных (см. (34), (36) в [12]).
В случае статически определимых балок для построения следующего ()-го приближения решения не обязательно интегрировать систему (34) на s-й итерации. Действительно, в момент времени  на текущей s-й итерации
из равенств (33), (34) последовательно можем определить (как из СЛАУ) приближения функций , ,  в каждой точке продольной оси , а значит из (13) с учетом (29) получаем s-е приближения осредненных деформаций композиции ,  во всех точках балки-стенки (, ).
Зная , , на основании структурных формул из [9] с учетом (17)
в каждой точке балки можно определить s-е приближения деформаций в k-м компоненте композиции , а затем по формулам (2), (10) можно вычислить s-е приближения компонентов матриц  в определяющих соотношениях (11). Далее, по структурным формулам из [9] в каждой точке балки можно вычислить s-ые приближения компонентов матрицы  и вектора  в равенстве (12), которое затем используется для получения решения на следующей итерации
(при этом в соотношениях (11), (12) нужно индекс m заменить на s, а s на ),
и т.д. до тех пор, пока итерационный процесс не сойдется с требуемой точностью.
В случае же статически неопределимых балок на каждой s-й итерации требуется проинтегрировать соответствующую двухточечную граничную задачу (см. (17)-(19), (21), (22) в [12] с учетом (20), (24), (25)), из которой определяются функции , , , затем численным дифференцированием вычисляются производные ,  и далее итерационная процедура реализуется совершено так же, как описано выше.
Если в момент времени  итерационный процесс сошелся с требуемой точностью, т.е. в каждой точке балки известны деформации  каждого компонента композиции, то на основании (11) можно определить и напряженное состояние  () во всех материалах фаз композиции. Следовательно,
с учетом (2) все величины, указанные в (5), становятся известными в каждой точке балки-стенки в момент времени . Повторяя проведенные выше рассуждения, можем получить решение рассматриваемой задачи для следующего момента времени  и т. д. Учитывая, что до начального момента времени  выполнялись соотношения (3), т.е. при  все величины в (5) равны нулю, можно последовательно по описанной выше схеме получить в дискретные моменты времени (6) решение задачи о ползучести армированной балки-стенки, выполненной из нелинейно-наследственных материалов фаз.
В настоящем исследовании ядра ползучести в соотношениях (1) были выбраны в виде (4), что согласно (9) приводит к необходимости заново пересчитывать влияние всей предыстории нагружения каждого компонента композиции во всех точках конструкции в каждый момент времени .
Это может существенно сказаться на времени численного счета. Известно,
что в ряде случаев с помощью суммы достаточно большого количества экспоненциальных ядер можно с любой желательной степенью точности аппроксимировать экспериментально измеренные кривые ползучести [24],
в том числе можно аппроксимировать и слабосингулярные ядра ползучести типа (4) [25]. Использование суммы экспоненциальных ядер ползучести в силу свойства их вырожденности удобно при численной реализации тем,
что не требует пересчета всей предыстории нагружения каждого компонента композиции. Методика вычисления правых частей в соотношениях (1) на каждом шаге по времени при использовании таких ядер ползучести изложена в [9], поэтому не будем останавливаться на обсуждении этого вопроса более подробно.

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ

В качестве конкретных примеров исследуем механическое поведение
в условиях ползучести двухопорных балок-стенок (см. рис.1), имеющих длину , высоту  и изготовленных из алюминиевого сплава Д16Т. Нелинейно-наследственное поведение этого материала при температуре  определяются следующими соотношениями [14] (см. (1), (2), (4))

(35)
Балки могут быть продольно армированы борными волокнами
с механическими характеристиками [26]
	(36)
где ,  – модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала k-го компонента композиции. (Согласно (35), (36) и замечанию, при  борные волокна
не ползут и ведут себя линейно-упруго [17, 26], для сплава же Д16Т связь между шаровыми тензорами напряжений и деформаций является также линейно-упругой.) В расчетах принята плотность армирования .
Согласно (3), внешняя нагрузка q (см. рис.1), прикладывается в виде функции класса Хевисайда
					(37)
Так как компоненты матриц  и векторов  (), согласно (9)-(11), зависят от шага по времени , то, прежде всего, необходимо выяснить при каком максимальном значении  становится несущественной зависимость решения от выбора шага  (в расчетах предполагалось , , см. (6)).
На рис.2 приведены зависимости прогиба центрального сечения балки
				(38)
от времени t, рассчитанные при разных ∆ для изотропной алюминиевой конструкции при . Изображенная на рис.2 кривая определена
при ; круглыми точками отмечены результаты расчета, выполненные
с шагом по времени , а квадратными точками – с шагом .
Из рис.2 видно, что положения точек, выделенных маркером, визуально не отличается от положения точек на сплошной кривой (эта особенность наблюдается и на больших интервалах времени, т. е. при  и шаге порядка ). Следовательно, при расчетах длительной ползучести (при ) изгибаемых балок-стенок из сплава Д16Т, механическое поведение которого описывается соотношениями (2), (4), достаточно использовать шаг по времени  или  и даже   (в зависимости от характерного времени исследуемого процесса ползучести). При расчетах кратковременной ползучести [1,14] (т.е. при ) целесообразно использовать шаг . (Отметим,
что согласно разделу 1, структурная модель, использованная в настоящей работе
(см. [9]), позволяет изменять шаг по времени  в процессе вычислений).
В последующих расчетах рассматривается ползучесть в условиях длительного нагружения, поэтому использован шаг по времени .

Рис.2.	Зависимости прогибов центрального сечения изотропной алюминиевой балки от времени, рассчитанные при разных шагах по времени.

На рис.3 приведены расчетные кривые (38) для изотропных и армированных балок-стенок при разных уровнях нагружения  (см. рис.1).

Рис.3.	Зависимости прогибов центральных сечений двухопорных балок-стенок
от времени

Штриховые кривые 1’, 1” соответствуют изотропным балкам при ; сплошные линии 2’, 2” – армированным балкам при той же нагрузке, кривые 3’, 3” – армированным балкам при  (см. (37)). Кривые, номера которых помечены одним штрихом, рассчитаны по второму варианту теории Тимошенко (см. разделы 2, 3), а двумя штрихами – по классической теории Бернулли (при этом достаточно в соотношении (33) принять  или, что то же самое ). Согласно сказанному начальный участок кривой 1’ () совпадает с кривой на рис.2.
Сравнение кривых с одинаковыми номерами на рис.3 показывает,
что ползучесть в тимошенковских балках развивается более активно,
чем в бернуллиевских, причем с увеличением времени разность величин (38), рассчитанных по обеим теориям, возрастает. Так, при  разность величин (38) для штриховых линий 1’, 1” составляет 2,4%, для сплошных кривых 2’, 2” – 9,8%, а для 3’, 3” – 12,9%. Для более высоких армированных балок-стенок
это различие становится еще больше, например при  и  разность величин (38) достигает 24%. Сопоставление кривых 2’, 2” с линиями 3’, 3” на рис.3 показывает, что разность решений, полученных по теориям Тимошенко и Бернулли, возрастает не только с увеличением времени,
но и с увеличением по модулю внешней нагрузки q. (Этот эффект вызван нелинейным поведением связующего материала Д16Т.)
Сравнение кривых 1’, 1” с линиями 2’, 2” показывает, что при  армирование алюминиевой балки приводит к резкому уменьшению
ее податливости. При этом поведение кривых 2’, 2” на рис.3 визуально почти
не отличается от горизонтальных прямых, т.е. по сравнению с изотропной балкой (линии 1’, 1”) армированная конструкция практически не ползет. Сопоставление же ординат точек на кривых 1’, 3’ при  показывает, что они почти равны, т.е. при одной и той же податливости армированная балка несет нагрузку  в 8,33 раза большую, чем изотропная (). Поведение кривых 1’, 3’ свидетельствует о том, что при  податливость изотропной балки становится больше, чем армированной, несмотря на то, что последняя несет почти на порядок большую нагрузку.

Рис.4.	Зависимости прогибов двухопорных балок от продольной координаты
в разные моменты времени ( и ).

На рис.4 изображены зависимости прогибов  от продольной координаты  в начальный момент времени  (кривые 1’, 1”, 3’, 3”) и при  (линии 2’, 2”, 4’, 4”). По-прежнему, штрихом помечены номера кривых, рассчитанных по теории Тимошенко, а двумя штрихами – по теории Бернулли. Пунктирные кривые 1’, 1”, 2’, 2” соответствуют изотропной балке при , а сплошные линии 3’, 3”, 4’, 4” – армированной конструкции при . Сопоставление кривых 1’, 1” и 2’, 2”, а также 3’, 3” и 4’, 4” позволяет проследить за качественным изменением эпюр прогибов в процессе ползучести. Так, поведение кривой 2’ по сравнению с линией 1’ указывает на то, что ее ненулевая кривизна локализуется в окрестности центрального сечения (), что свидетельствует о развитии в процессе ползучести такого напряженно-деформированного состояния (НДС) в изотропной балке, которое приближенно можно охарактеризовать вязко-ползучим шарниром [1].
Для получения некоторого наглядного представления о характере распределения деформаций в материалах изотропных и армированных балок
на рис.5,6 изображены проекции фасада двухопорной балки (внешний прямоугольный контур при высоте ) и поверхностей равного уровня,
на которых интенсивность деформаций (см. (2)) имеет постоянные значения
в алюминиевом связующем Д16Т () и в борных волокнах ().
В силу симметрии нагружения и закрепления балок (см. рис.1) «картины» деформирования материалов в них симметричны относительно центрального сечения , поэтому на рис.5,6 изображены либо левые, либо правые части этих картин. Кроме того, на этих рисунках изображены лишь верхние половины балок-стенок (), так как картины деформирования в нижних половинах () получаются из верхних зеркальным отражением относительно срединной плоскости  (в силу того, что разносопротивляемость растяжению и сжатию материалов фаз не учитывается (см. (35), (36)) и продольное нагружение балки отсутствует).
На рис.5,а изображены следы поверхностей  для изотропной балки при . Сопоставление левой и правой частей этого рисунка показывает, что со временем в изотропной балке действительно развивается НДС, близкое к вязко-ползучему шарниру, причем расчет по теории Бернулли показал, что линии равного уровня  визуально практически неотличимы
от кривых, изображенных на рис.5,а.
Согласно разделам 2, 3 в рамках классической теории Бернулли деформированные состояния материалов фаз армированных балок совпадают, поэтому линии равного уровня, изображенные на рис.5,б, характеризуют картины деформирования как связующего, так и арматуры в бернуллиевских композитных балках при . Из сравнения левой и правой частей рис.5,б видно,
что в такой балке картины деформирования материалов фаз в процессе ползучести изменяются незначительно, что и определяет в основном почти горизонтальное поведение кривой 3” на рис.3. Правая часть рис.5,б свидетельствует о том, что в рассматриваемой балке развивается деформированное состояние, близкое к вязко-ползучему шарниру, расположенному в окрестности центрального сечения.

Рис.5.	Характерные зоны деформирования изотропной (а) и армированной бернуллиевской (б) балок-стенок в начальный момент времени (левые части рисунков) и при  (правые части рисунков).

На рис.6 изображены картины деформирования связующего (левые части рисунков) и борных волокон (правые части рисунков) в армированной тимошенковской балке, рассчитанные при  в начальный момент времени (рис.6,а) и при  (рис.6,б). Как видно из рис.6, картины деформирования материалов фаз в композитной тимошенковской балке существенно различны. Так, деформированное состояние арматуры, рассчитанное по теории Тимошенко, практически не отличается от состояния, определенного
по теории Бернулли (ср. правые части рис.6,а и 6,б с левой и правой частями рис.5,б соответственно). В связующем же тимошенковской балки в окрестности опор активно развиваются деформации поперечного сдвига, которые на рис.6,б характеризуются кривыми, имеющими в окрестности , согласно (13), формы, близкие к параболам, причем с ростом времени эти деформации существенно возрастают.

Рис.6.	Характерные зоны деформирования связующего (левые части рисунков)
и арматуры (правые части рисунков) в композитной тимошенковской балке-стенке: а) – в начальный момент времени; б) – при .

Поведение всех кривых на рис.2,3, которые условно можно трактовать
как кривые ползучести для балок, указывают на наличие начальной стадии упрочнения, которая со временем переходит в стадию установившейся ползучести, что является характерным для ползучести конструкций
из металлических материалов [1,14,17]. Ускоренная стадия предразрушения
на кривых рис.2,3 не наблюдается, так как использованный вариант нелинейно-наследственной теории ползучести Ю.Н.Работнова (см. (1), (2), (4)) не описывает эту третью стадию ползучести металлических материалов.
Во всех приведенных выше расчетах величины  (см. (38))
не превосходили 1/5 от высоты балки  (см. рис.3), а интенсивности деформаций материалов фаз не превосходили 2,5% (см. рис.5,6), поэтому все результаты, полученные в настоящем исследовании в рамках геометрически линейной постановки задачи, являются вполне корректными. (При больших уровнях деформирования требуется привлечение понятия логарифмических деформаций [14].)
Все вычисления проводились с использованием формул (4), (9), (35), (36) при постоянном шаге по времени , т.е. при переходе от одного момента времени к следующему в каждой точке балки проводился пересчет всей предыстории
ее нагружения, в силу чего примерно после 50-ти шагов по времени () наблюдалось существенное замедление скорости расчетов. Чтобы избежать этого негативного обстоятельства, согласно рис.2 в процессе пересчета предыстории нагружения можно увеличивать значение шага по времени  (см. (5), (6), (9))
и выбирать его переменным при больших значениях текущего времени ,
либо если это возможно, целесообразно слабосингулярные ядра ползучести (4) аппроксимировать экспоненциальными ядрами (см. конец раздела 3).

ВЫВОДЫ

Применение метода шагов по времени с привлечением соответствующих структурных соотношений механики композитов позволило решить задачу
о механическом поведении армированных балок-стенок из нелинейно-наследственных материалов, подчиняющихся теории ползучести Ю.Н.Работнова. Расчеты композитных двухопорных балок, основным материалом которых является алюминиевый сплав Д16Т, показали, что при температуре 
в условиях длительного нагружения определять механическое поведение таких конструкций с вполне приемлемой точностью можно, используя шаги по времени порядка суток. Проведенный анализ неупругого изгиба продольно-армированных балок-стенок продемонстрировал, что для относительно высоких балок учет
их ослабленного сопротивления поперечному сдвигу обязателен даже в случаях использования металлического связующего, иначе расчеты по классической теории Бернулли предсказывают неоправданно заниженную (на десятки процентов) податливость композитных тонкостенных конструкций
с высокомодульной и высокопрочной арматурой.

ЛИТЕРАТУРА

1.	Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Физматгиз, 1966. – 752 с.
2.	Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. –
М.: Наука, 1977. – 384 с.
3.	Голотина Л.А., Кожевникова Л.Л., Кошкина Т.Б. Численное моделирование реологических свойств зернистого композита с использованием структурного подхода // Механика композитных материалов. – 2008. – Т.44. – №6. – С.895-906.
4.	Апетьян В.Э., Быков Д.Л. Определение нелинейных вязкоупругих характеристик наполненных полимерных материалов // Космонавтика и ракетостроение. – 2002. – №3 (28). – С.202-214.
5.	Голуб В.П., Кобзарь Ю.М., Фернати П.П. Нелинейная ползучесть волокнистых однонаправленных композитов при растяжении в направлении армирования // Прикладная механика. – 2007. – №5. – С.20-34.
6.	Куликов Р.Г., Труфанов Н.А. Применение итерационного метода к решению задачи деформирования однонаправленного композиционного материала с нелинейно-вязкоупругим связующим // Вычислительная механика сплошных сред. – 2011. – Т.4. – №2. – С.61-71.
7.	Крегер А. Ф., Тетерс Г. А. Применение методов усреднения для определения вязкоупругих свойств пространственно армированных композитов // Механика композитных материалов. – 1979. – № 4. – С. 617-624.
8.	Крегерс А.Ф., Тетерс Г.А. Структурная модель деформирования анизотропных, пространственно армированных композитов // Механика композитных материалов. – 1982. – №1. – С.14-22.
9.	Янковский А.П. Моделирование механического поведения композитов с пространственной структурой армирования из нелинейно-наследственных материалов // Конструкции из композиционных материалов. – 2012. – №2. – С.12-25.
10.	Немировский Ю.В. Ползучесть однородных и композитных оболочек / Межд. конф. Актуальные проблемы механики оболочек. Сборник трудов. – Казань: Новое знание, 2000. – С.42-49.
11.	Янковский А.П. Моделирование механического поведения перекрестно армированных металлокомпозитов в условиях установившейся ползучести // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2011. – Т.17. – №3. – С.362-384.
12.	Янковский А.П. Исследование установившейся ползучести армированных металлокомпозитных балок-стенок с учетом ослабленного сопротивления поперечному сдвигу // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2012. – Т.18. – №3. – С.301-319.
13.	Ильюшин А.А. Труды. Т.3. Теория термовязкоупругости. – М.: Физматлит, 2007. – 288 с.
14.	Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. – Новосибирск: НГАСУ, 1997. – 278 с.
15.	Goldhoff R.M. The application of Rabotnov’s creep parameter // Proc. ASTM. – 1961. – Vol.61.
16.	Turner F. H., Blomquist K. E. A study of the applicability of Rabotnov’s creep parameter for aluminium alloy // JAS. – 1956. – Vol.23. – N12.
17.	Хажинский Г.М. Модели деформирования и разрушения металлов. –
М: Научный мир, 2011. – 231 с.
18.	Радченко В.П., Еремин Ю.А. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. – М.: Машиностроение-1, 2004. – 264 с.
19.	Баженов В.А., Кривенко О.П., Соловей Н.А. Нелинейное деформирование и устойчивость упругих оболочек неоднородной структуры: Модели, методы, алгоритмы, малоизученные и новые задачи. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. – 336 с.
20.	Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). – М.: Наука, 1973. – 631 с.
21.	Янковский А.П. Исследование упругопластического деформирования армированных балок-стенок с учетом ослабленного сопротивления поперечному сдвигу // Межвуз. сборник: Проблемы прочности и пластичности. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2012. – Вып.74. – С.92-103.
22.	Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1979. – 312 с.
23.	Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1988. – 334 с.
24.	Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. – М.: ИЛ, 1963. – 535 с.
25.	Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство. – М.: Физматгиз, 1961. – 524 с.
26.	Композиционные материалы. Справочник / Под ред. Д. М. Карпиноса. – Киев: Наукова думка, 1985. – 592 с.

Поступила в редакцию 14 марта 2014 года.